Câu hỏi:
29/04/2022 1,040Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = 3,BC = 4,SC = 5.\) Tam giác \(SAC\) nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right).\) Các mặt \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) tạo với nhau một góc \(\alpha \) và \(\cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt {29} }}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\)
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án C.
Kẻ \(SH \bot AC\left( {H \in AC} \right)\) vì \(\Delta SAC\) nhọn.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
Kẻ \(MB \bot AC \Rightarrow MB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow MB \bot SA,\left( 1 \right).\)
Ta có \(AC = SC = 5\) nên \(\Delta SAC\) cân tại \(C.\)
Gọi \(E\) là trung điểm của \(SA\) nên \(SA \bot EC,\) kẻ \(MN//EC\left( {N \in SA} \right)\) nên \(SA \bot MN\left( 2 \right).\)
Từ (1), (2) suy ra \(SA \bot \left( {MNB} \right) \Rightarrow \widehat {BNM} = \alpha .\)
Ta có \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{{\sqrt {29} }}} \right)}^2}}} - 1} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}.\)
Trong \(\Delta ABC:MB = \frac{{AB.BC}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \frac{{12}}{5},AM = \sqrt {A{B^2} - M{B^2}} = \frac{9}{5}.\)
Trong \(\Delta BMN:MN = \frac{{MB}}{{\tan \alpha }} = \frac{{18\sqrt 5 }}{{25}}.\)
Trong \(\Delta SAC:\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{EC}} = \frac{{\frac{9}{5}}}{5} = \frac{9}{{25}}\) suy ra \(EC = \frac{{25MN}}{9} = 2\sqrt 5 .\)
Ta có \(SA = 2SE = 2\sqrt {S{C^2} - E{C^2}} = 2\sqrt 5 \)
Và \(SH.AC = SA.EC \Leftrightarrow SH = \frac{{SA.EC}}{{AC}} = \frac{{2\sqrt 5 .2\sqrt 5 }}{5} = 4.\)
Vậy thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.4.3.4 = 16.\)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = mx - \frac{1}{{{x^3}}} + 2{x^3}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) là
Câu 2:
Biết rằng phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} - 2020x} \right) = 2021\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}.\) Tính tổng \({x_1} + {x_2}.\)
Câu 3:
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(AB = a,SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 + 2f\left( {\cos x} \right)} } \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
về câu hỏi!