Đề ôn luyện Toán Chương 6. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian (đề số 1)

Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\).

Tổng \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} \) bằng

Cho tứ diện ABCD, gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác BCD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh \(a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho các vectơ \(\vec u = \vec i + 2\vec j - 3\vec k,\vec v = 2\vec i - \vec j + \vec k,\vec w = \vec u + \vec v\). Toạ độ của vectơ \(\vec w\) là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2; - 1; - 1} \right),B\left( { - 3;2; - 2} \right)\). Tọa độ của \(\overrightarrow {AB} \) là

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;3;4} \right),B\left( {2; - 1;0} \right),C\left( {3;1;2} \right)\). Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\) thoả mãn \(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + 3\vec j - 4\vec k\). Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).

Trong không gian Oxyz, cho \(\vec a = \left( {2; - 3;3} \right),\vec b = \left( {0;2; - 1} \right),\vec c = \left( {3; - 1;5} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\vec u = 2\vec a + 3\vec b - 2\vec c\) là

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;3;2} \right)\), \(B\left( {1;0;1} \right)\), \(C\left( {5; - 3;2} \right)\). Biết rằng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2m\). Giá trị của \(m\) là

Trong không gian Oxyz, cho hai vector \(\vec u = \left( { - 1;1;0} \right),\vec v = \left( {0; - 1;0} \right)\). Góc giữa hai vectơ đã cho bằng

Trong không gian Oxyz, cho \(\vec a = \left( {2; - 2;6} \right)\). Khi đó độ dài của vectơ \(\vec a\) là:

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là \(30\,{\rm{N}}\) và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) lên ba chân của giá đỡ. Ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là \(60^\circ \). Hỏi độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_1}} \) là bao nhiêu Newton (làm tròn đến hàng phần chục)?

Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {800;500;7} \right)\) đến điểm \(B\left( {940;550;9} \right)\) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \(C\left( {x;y;z} \right)\). Tính \(x + y + z\).

Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật \[ABCD.OMNK\] có chiều dài 1200 cm, chiều rộng 900 cm, chiều cao 450 cm. Phần mái nhà dạng hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc a  có \(\tan \alpha = \frac{1}{5}\). Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho M thuộc tia Ox, K thuộc tia Oy, A thuộc tia Oz (như hình vẽ).

Biết \[S\left( {a;b;c} \right)\] (đơn vị của a, b, c là centimet). Tính giá trị của biểu thức \[P = a + b + c\].

Trong không gian \[Oxyz\], cho các điểm \(A\left( { - 1; 2; 1} \right)\),\(B\left( {2; - 1; 3} \right)\),\[C\left( {3; 5; - 1} \right)\]. Điểm \[M\left( {a; b; c} \right)\] trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {CM} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có \(2b + c\) bằng bao nhiêu?

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 300 m về phía Nam và 100 m về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 100 m. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 200 m về phía Bắc và 100 m về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 50 m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).