10 Bài tập Xét tính tăng giảm của dãy số (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_{n + 1} > u_n,  "nÎ ℕ^*.

Đáp án đúng là: C

+) $u_{n+1}–u_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n\left(n+1\right)}$ < 0  "nÎ ℕ^*.

Þ Dãy số có tính giảm Þ C đúng, B sai.

+) u₁ = 1 Þ D sai.

+) u₇ = $\frac{1}{7}$  Þ A sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u_n+1 – u_n = (n + 1)! – n! = (n + 1 – 1). n! = n.n! > 0  "nÎ ℕ^*.

Do đó dãy số có tính tăng.

Þ D đúng, A sai.

u₂ = 2! Þ B sai.

u₁₀ = 10! > 20 Þ C sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta luôn có: u_n > 0  "nÎ ℕ^*.

• $u_n^2=2n+5$

• $u_{n+1}^2=2\left(n+1\right)+5=2n+7=u_n^2+2$

Do đó $u_{n+1}^2>u_n^2$ .

Ta luôn có: u_n > 0  "nÎ ℕ^*.

Nên u_n+1 > u_n Þ Dãy có tính tăng Þ D đúng, C sai.

•  $u_3=\sqrt{2.3+5}=\sqrt{11}$Þ A sai.

• $u_2=\sqrt{2.2+5}=3$  Þ B sai.

Đáp án đúng là: A.

• Xét dãy số: u_n = 2n + 1

u_{n + 1} – u_n = 2(n + 1) + 1 – (2n + 1) = 2 > 0 "nÎ ℕ^*.

Þ Dãy có tính tăng Þ A đúng.

• Xét dãy số: u_n = 5 – 4n

u_{n + 1} – u_n = 5 – 4(n + 1) – (5 – 4n) = – 4 < 0 "nÎ ℕ^*.

Þ Dãy có tính giảm Þ B sai.

• Xét dãy số: u_n = n² – n

u_{n + 1} – u_n = – (n + 1)² + (n + 1) – (– n² + n) = – 2n < 0 "nÎ ℕ^*.

Þ Dãy có tính giảm Þ C sai.

• Xét dãy số: u_n = (–2)ⁿ

Có: u₁ = –2; u₂ = 4; u₃ = –8; …

Þ Dãy không có tính tăng Þ D sai.

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy $f\left(n\right)=\frac{1}{2n+3}$  là hàm số nghịch biến trên ℕ^*.

Suy ra u_n+1 < u_n "nÎ ℕ^* Þ Dãy số có tính giảm.

Þ C đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u_{n + 1} – u_n = a(n + 1) + 1 – (an + 1) = a.

Để u_n là dãy số giảm thì a < 0.

Þ A đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{a\left(n+1\right)+4}{2\left(n+1\right)+1}-\frac{an+4}{2n+1}$

$=\frac{\left(an+a+4\right)\left(2n+1\right)-\left(an+4\right)\left(2n+3\right)}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}>0$.

Do (2n + 3)(2n + 1) > 0 "nÎ ℕ^*.

Þ  > 0

Þ a.(2n + 1) – (an + 4).2 > 0

Þ a – 8 > 0 Û a > 8.

Suy ra A đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có: u_{n + 1} – u_n = (a – 3)(n + 1) + 2 – [(a – 3)n + 2]

= (a – 3)(n + 1) + 2 – (a – 3)n – 2 = a – 3.

Để dãy số là dãy số giảm thì a – 3 < 0 hay a < 3.

Vậy có 2 giá trị thỏa mãn: a = 1 hoặc a = 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• u_{n + 1} – u_n = (n + 1)² + 1 – n² – 1= 2n + 1 "nÎ ℕ^*.

• v_{n + 1} – v_n = (n + 1)³ – n³ = 3n² + 3n + 1 "nÎ ℕ^*.

• w_{n + 1} – w_n = 7(n + 1) – 8 – 7n + 8 = 7 "nÎ ℕ^*.

•  $a_{n+1}–a_n=\frac{2\left(n+1\right)+1}{n+2}-\frac{2n+1}{n+1}$

$=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+3\right)-\left(n+2\right)\left(2n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$

 $=\frac{1}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$"nÎ ℕ^*.

Þ Cả 4 dãy số đều là các dãy số tăng.