Câu hỏi:
29/04/2022 1,795Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 3} \right)^{2020}}\left( {{\pi ^{2x}} - {\pi ^x} + 2021} \right)\left( {{x^2} - 2x} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\) Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 8x + m} \right)\) có đúng ba điểm cực trị \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 50.\) Khi đó tổng các phần tử của \(S\) bằng
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án D.
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^{2020}}\left( {{\pi ^{2x}} - {\pi ^x} + 2021} \right)\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\left( * \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\{\pi ^{2x}} - {\pi ^x} + 2021 = 0\\{x^2} - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 2\\x = 0\end{array} \right.\) (trong đó \(x = 3\) là nghiệm bội chẵn).
Suy ra: \(y' = \left( {2x - 8} \right).f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right),y' = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 8} \right).f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 8 = 0\\f'\left( {{x^2} - 8x + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{x^2} - 8x + m = 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} - 8x + m = 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\\{x^2} - 8x + m = 0{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{x^2} - 8x = 3 - m{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} - 8x = 2 - m{\rm{ }}\left( 2 \right)\\{x^2} - 8x = - m{\rm{ }}\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(y = h\left( x \right) = {x^2} - 8x,h'\left( x \right) = 2x - 8,h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 4.\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = h\left( x \right).\)
Vì \(x = 3\) là nghiệm bội chẵn của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) nên nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) không phải là điểm cực trị của hàm số.
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số có đúng ba điểm cực trị khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt đồng thời phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất \(x = 4.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m >- 16\\ - m \le - 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 18\\m \ge 16\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {16;17} \right\}\).
Nếu \(x = 4\) là nghiệm của phương trình \(\left( 3 \right)\) thì \(m = 16,\) suy ra phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 - \sqrt 2 \\x = 4 + \sqrt 2 \end{array} \right.\) (không thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 50).\)
Nếu \(m = 17\) thì phương trình \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 5\end{array} \right.\) (thỏa mãn: \({3^2} + {4^2} + {5^2} = 50).\)
Vậy \(S = \left\{ {17} \right\}.\)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Câu 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( {0;20} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 3m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 6} \right)?\)
Câu 4:
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - m - 1} \right)x + 1.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) để hàm số đạt cực trị tại \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + 2m{x_2} - 3{m^2} + m - 5 \le 0?\)
Câu 6:
Gọi \(m\) là tham số thực để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^2} + 2x + m - 4} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của \(m\) là
về câu hỏi!