10 Bài tập Chứng minh các hệ thức hình học (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ADB có MP // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{MD}}{\text{AD}}=\frac{\text{DP}}{\text{BD}}$(1)

Xét tam giác CDB có NP // DC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{DP}}{\text{BD}}=\frac{\text{CN}}{\text{CB}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\text{MD}}{\text{AD}}=\frac{\text{CN}}{\text{CB}}=\frac{\text{DP}}{\text{BD}}$  .

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ACE có CE // BD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{AD}}{\text{AE}}$(1)

Xét tam giác AFE có FE // CD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{AC}}{\text{AF}}=\frac{\text{AD}}{\text{AE}}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{AC}}{\text{AF}}=\frac{\text{AD}}{\text{AE}}$.

Từ đó ta có AC ⋅ AC = AB ⋅ AF hay AC2 = AB ⋅ AF.

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ABC có $\frac{\text{AD}}{\text{AB}}=\frac{\text{AE}}{\text{AC}}$  nên DE // BC (định lí Thalès đảo).

Do đó theo định lí Thalès ta có$\frac{\text{AD}}{\text{DB}}=\frac{\text{AE}}{\text{EC}}$ ,$\frac{\text{BD}}{\text{AB}}=\frac{\text{CE}}{\text{AC}}$ .

Vậy C sai.

Đáp án đúng là: C

Kẻ DH // CI (H ∈ AB), do đó DH // IO.

Xét tam giác ADH có DH // IO nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{AI}}{\text{IH}}=\frac{\text{AO}}{\text{OD}}$ hay $\frac{\text{AI}}{\text{IH}}=\frac{3}{2}$  .

Suy ra AI = 3t và IH = 2t (với t > 0).

Ta có D thuộc cạnh BC và BC = 2BD, suy ra BC = 2CD.

Xét tam giác BIC có DH // IC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{BI}}{\text{IH}}=\frac{\text{BC}}{\text{CD}}$ hay $\frac{\text{BI}}{\text{IH}}=\frac{2}{1}$

Suy ra BI = 2IH = 2 ⋅ 2t = 4t.

Vậy $\frac{\text{AI}}{\text{IB}}=\frac{\text{3t}}{\text{4t}}=\frac{3}{4}$ .

Đáp án đúng là: D

Xét tứ giác ADEF có:

AD // EF (D ∈ AB)

AF // DE (F ∈ AC)

Suy ra tứ giác ADEF là hình bình hành.

Do đó AF = DE (1).

Xét tam giác ABC có EF // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{CE}}{\text{EB}}=\frac{\text{CF}}{\text{FA}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\text{CE}}{\text{EB}}=\frac{\text{CF}}{\text{DE}}$  .

Đáp án đúng là: A

Ta có AN ⊥ BC (do H là trực tâm của tam giác ABC) nên HN ⊥ CM (H ∈ AN, M ∈ BC).

Theo đề bài ta có IK // DC, IK ⊥ HM, do đó HM ⊥ DC hay HM ⊥ NC (N ∈ DC).

Tam giác HNC có: HM ⊥ NC, CM ⊥ HN.

Do đó M là trực tâm của tam giác HNC.

Suy ra MN ⊥ HC.

Lại có  HC ⊥ AB nên MN // AB hay MN // DB.

Xét tam giác CBD có MN // DB nên theo định lí Thalès ta có:

 $\frac{\text{CM}}{\text{MB}}=\frac{\text{CN}}{\text{ND}}$ hay $\frac{\text{CN}}{\text{ND}}=1$  (Vì CM = MB, do M là trung điểm của BC)

Suy ra CN = ND.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABD có HE // BD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{AH}}{\text{AD}}=\frac{\text{AE}}{\text{AB}}$ (1).

Xét tam giác CBD có GF // BD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{CF}}{\text{CB}}=\frac{\text{CG}}{\text{CD}}$ (2).

Xét tam giác ABC có EF // AC nên theo định lí Thalès ta có:

 $\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{\text{CF}}{\text{CB}}$(3).

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{\text{AH}}{\text{AD}}=\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{\text{CF}}{\text{CB}}=\frac{\text{CG}}{\text{CD}}$  hay $\frac{\text{AH}}{\text{AD}}=\frac{\text{CG}}{\text{CD}}$  .

Từ đó suy ra AH ⋅ CD = AD ⋅ CG.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác OHG có EF // HG nên theo định lí Thalès ta có:

 $\frac{\text{OF}}{\text{OG}}=\frac{\text{OE}}{\text{OH}}$(1).

Xét tam giác OEG có DF // EG nên theo định lí Thalès ta có:

 $\frac{\text{OF}}{\text{OG}}=\frac{\text{OD}}{\text{OE}}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\text{OE}}{\text{OH}}=\frac{\text{OD}}{\text{OE}}$ .

Từ đó ta có OE ⋅ OE = OH ⋅ OD hay OE² = OH ⋅ OD.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC có DE // BC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{AC}}{\text{EC}}=\frac{\text{AB}}{\text{BD}}$ hay $\frac{\text{AC}}{\text{AB}}=\frac{\text{EC}}{\text{BD}}$   (1).

Xét tam giác DEF có DE // MC (M ∈ BC) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{DM}}{\text{MF}}=\frac{\text{EC}}{\text{CF}}$(2).

Mà CF = DB (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{\text{DM}}{\text{MF}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$ .

Đáp án đúng là: D

Vì MN // BC, EF // BC nên MN // BC // EF.

Trong tam giác ABH có EI // BH (I ∈ EF, H ∈ BC) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{\text{AI}}{\text{AH}}$ hay $\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{2}{3}$ .

Trong tam giác AIF có KN // IF (I ∈ EF, K ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{\text{AN}}{\text{AF}}=\frac{\text{AK}}{\text{AI}}$ hay $\frac{\text{AN}}{\text{AF}}=\frac{1}{2}$ .

Ta có $\frac{\text{AE}}{\text{AB}}+\frac{\text{AN}}{\text{AF}}=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$ .