10 Bài tập Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều (có lời giải)

Vì ΔABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó \(\widehat {CAM} = \widehat {BAM} = 30^\circ .\)

Xét ∆AMB có MA = MB (giả thiết) suy ra ∆AMB cân tại M nên \[\widehat {{A_1}} = \widehat B\].

Xét ∆AMC có MA = MC (giả thiết) suy ra ∆AMC cân tại M nên \[\widehat {{A_2}} = \widehat C\].

Do đó \[\widehat B + \widehat C = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC}\]

Mặt khác: \[\widehat B + \widehat C + \widehat {BAC} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \] hay \[2\widehat {BAC} = 180^\circ \].

Do đó: \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]

Vậy ΔABC vuông tại A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét ∆AHB (vuông tại H) và AHC (vuông tại H) có:

AB = AC (do ΔABC cân tại A);

AH là cạnh chung

Do đó: ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra HB = HC (hai cạnh tương ứng)

Ta có CE = CB = HB + HC = 2CH

Xét ΔADE có EH là đường trung tuyến mà CE = 2CH nên C là trọng tâm của ΔADE.

Xét ∆ABC có hai đường trung tuyến BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC. Do đó AG là đường trung tuyến thứ ba của tam giác.

Giả sử AG cắt BC tại O.

Khi đó O là trung điểm của BC nên GO là đường trung tuyến của ∆GBC.

Xét ΔBGC vuông tại G (do \[\widehat {BGC} = 90^\circ ),\] có GO là đường trung tuyến của ∆GBC nên theo kết quả của Ví dụ 2, ta suy ra \[OG = OB = OC = \frac{1}{2}BC.\]

Mà \[OG = \frac{1}{2}AG\] (do G là trọng tâm của ∆ABC)

Suy ra AG = BC = 5 (cm).

Ta có ΔABC vuông tại A và trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC nên theo kết quả của Ví dụ 2, ta có \[AM = \frac{1}{2}BC,\] hay BC = 2AM.

Xét ΔABC có BC < AB + AC (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra 2AM < AB + AC hay \[AM < \frac{{AB + AC}}{2}.\]

Đáp án đúng là: D

Vì ΔABC cân tại A nên AB = AC.

Vì AM là trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của BC.

Xét ΔABM và ΔACM có:

AB = AC (chứng minh trên)

MB = MC (do M là trung điểm của BC)

AM là cạnh chung

Do đó ΔABM = ΔACM (c.c.c)

Suy ra \[\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\] (hai góc tương ứng)

Lại có \[\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \] (hai góc kề bù)

Nên \[\widehat {AMB} + \widehat {AMB} = 180^\circ \] hay \[2\widehat {AMB} = 180^\circ \]

Do đó \[\widehat {AMB} = 90^\circ .\]