Bài tập Cuối chuyên đề 3 có đáp án

+) M(x; y) thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi

$\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=2\iff \frac{\sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2}}{\frac{\left|x+y-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=2$

$\iff \sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2}=2\frac{\left|x+y-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2}=2\frac{\left|x+y-1\right|}{\sqrt{2}}$

$\iff {\left(x+2\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=2{\left(x+y-1\right)}^2$

$\iff \left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-10y+25\right)=2\left(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\right)$

$\iff x^2+y^2+4x-10y+29=2x^2+2y^2+2+4xy-4x-4y$

$\iff x^2+y^2+4xy-8x+6y-27=0.$

+) (S) là hypebol vì có tâm sai lớn hơn 1.

Xét điểm M(x; y) thuộc conic.

M(x; y) thuộc đường conic đã cho khi và chỉ khi

$\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \frac{\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}}{\frac{\left|x+y+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sqrt{{\left(x+1\right)}^2+y^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\left|x+y+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{\left(x+1\right)}^2+y^2}=\frac{\left|x+y+1\right|}{2}$

$\iff 2\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+y^2}=\left|x+y+1\right|$

$\iff 4\left[{\left(x+1\right)}^2+y^2\right]={\left(x+y+1\right)}^2$

$\iff 4\left[\left(x^2+2x+1\right)+y^2\right]=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$

$\iff 4x^2+8x+4+4y^2=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$

$\iff 3x^2+3y^2-2xy+6x-2y+3=0.$

Conic này là elip vì có tâm sai lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1.

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c đều có toạ độ (x; ax2 + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là $\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=1$ hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) $\iff \sqrt{{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(a{x}^2+bx+c-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2}=\left|a{x}^2+bx+c+\frac{1+\Delta }{4a}\right|$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(a{x}^2+bx+c-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2={\left(a{x}^2+bx+c+\frac{1+\Delta }{4a}\right)}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac-\left(1-\Delta \right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac+\left(1+\Delta \right)}{4a}\right]}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac-\left(1-b^2+4ac\right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac+\left(1+b^2-4ac\right)}{4a}\right]}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(\frac{4a^2{x}^2+4abx+b^2-1}{4a}\right)}^2={\left(\frac{4a^2{x}^2+4abx+b^2+1}{4a}\right)}^2$

$\iff {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{{\left(2ax+b\right)}^2-1}{4a}\right]}^2={\left[\frac{{\left(2ax+b\right)}^2+1}{4a}\right]}^2$

$\iff 4{\left(2ax+b\right)}^2+{\left[{\left(2ax+b\right)}^2-1\right]}^2={\left[{\left(2ax+b\right)}^2+1\right]}^2$

$\iff 4{\left(2ax+b\right)}^2+\left[{\left(2ax+b\right)}^4-2{\left(2ax+b\right)}^2+1\right]={\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1$

$\iff {\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1={\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1.$

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên $\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=1$ hay MF = d(M, Δ)

$\Rightarrow \sqrt{{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(y-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2}=\left|y+\frac{1+\Delta }{4a}\right|$

$\Rightarrow {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(y-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2={\left(y+\frac{1+\Delta }{4a}\right)}^2$

$\Rightarrow {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4ay-\left(1-\Delta \right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4ay+\left(1+\Delta \right)}{4a}\right]}^2$

$\Rightarrow {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4ay-\left(1-b^2+4ac\right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4ay+\left(1+b^2-4ac\right)}{4a}\right]}^2$

$\Rightarrow {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{\left(4ay-4ac+b^2\right)-1}{4a}\right]}^2={\left[\frac{\left(4ay-4ac+b^2\right)+1}{4a}\right]}^2$

$\Rightarrow 4{\left(2ax+b\right)}^2+{\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)-1\right]}^2={\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)+1\right]}^2$

$\Rightarrow 4{\left(2ax+b\right)}^2={\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)+1\right]}^2-{\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)-1\right]}^2$

$\Rightarrow 4\left(4a^2{x}^2+4abx+b^2\right)=4\left(4ay-4ac+b^2\right)$

$\Rightarrow 4a^2{x}^2+4abx=4ay-4ac$

$\Rightarrow 4ay=4a^2{x}^2+4abx+4ac$

$\Rightarrow y=a{x}^2+bx+c.$

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.

+) Xét trường hợp a > 0.

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt

Xét phương trình đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0.$

có ${\left[\frac{\left(\frac{b}{a}-2p\right)}{2}\right]}^2+{\left[\frac{\frac{1}{a}}{2}\right]}^2-\frac{c}{a}={\left(\frac{b}{2a}-p\right)}^2+{\left(\frac{1}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$

$=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}-\frac{c}{a}=\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}$

Vì b < 0 và $b^2-4ac>0$ (chứng minh trên) nên $-\frac{b}{a}.p$> 0 và $\frac{b^2-4ac}{4a^2}>0$

Do đó ${\left[\frac{\left(\frac{b}{a}-2p\right)}{2}\right]}^2+{\left[\frac{\frac{1}{a}}{2}\right]}^2-\frac{c}{a}>0.$

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y2 = 2px và y = ax2 + bx + c $\Rightarrow$ y2 – 2px = 0 và ax2 + bx + c – y = 0

$\Rightarrow$ y2 – 2px = 0 và $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{y}{a}=0$

$\Rightarrow$$\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{y}{a}\right)+\left(y^2-2px\right)=0$

$\Rightarrow$$x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}x-2px\right)-\frac{y}{a}+\frac{c}{a}=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0.$

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).

Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2).

Ta thấy M nằm trong elip, do đó MA = MB khi M là trung điểm của AB.

$\Rightarrow x_1+x_2=2x_M=2.2=\mathrm{4,}{y}_1+y_2=2y_M=2.1=2.$

Vì A, B thuộc elip nên $\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16}=1$ và $\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{16}=1.$

$\Rightarrow \left(\frac{x_1^2}{25}+\frac{y_1^2}{16}\right)-\left(\frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{16}\right)=1-1=0$

$\Rightarrow \frac{x_1^2-x_2^2}{25}+\frac{y_1^2-y_2^2}{16}=0\Rightarrow \frac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)}{25}+\frac{\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)}{16}=0$

$\Rightarrow \frac{4\left(x_1-x_2\right)}{25}+\frac{2\left(y_1-y_2\right)}{16}=0$$\Rightarrow \frac{x_1-x_2}{25}+\frac{y_1-y_2}{32}=0\Rightarrow \frac{x_1-x_2}{25}=\frac{y_1-y_2}{-32}.$

Mà $\overrightarrow{BA}$ có toạ độ là (x1 – x2; y1 – y2) nên (25; –32) là một vectơ chỉ phương của AB

$\Rightarrow$ (32; 25) là một vectơ pháp tuyến của AB

$\Rightarrow$Phương trình đường thẳng AB là: 32(x – 2) + 25(y – 1) = 0 hay 32x + 25y – 89 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 32x + 25y – 89 = 0.