10 Bài tập Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). Cần chú ý về các khoảng và đoạn khi xác định số nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: C

Do chưa có thông tin về tính liên tục của f(x) tại x = 1 nên chưa thể đưa ra kết luận về tính liên tục của f(x).

Đáp án đúng là: C

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số f(x) = 3x²⁰²³ – 8x + 4.

Hàm số liên tục trên ℝ nên cũng liên tục trên đoạn [0; 1].

f(0) = 4; f(1) = ‒1 nên f(0) . f(1) < 0.

Vậy phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1).

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = 2x⁴ – 5x² + x + 1.

Hàm số liên tục trên ℝ.

f(‒2) = 11; f(‒1) = ‒3; f(0) = 1; f(1) = ‒1; f(2) = 15.

Ta thấy f(‒2) . f(‒1) < 0; f(‒1) . f(0) < 0; f(0) . f(1) < 0 ; f(1) . f(2) < 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong các khoảng (‒2; ‒1); (‒1; 0); (0; 1) và (1; 2).

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x³ – 1000x² + 0,01.

Hàm số liên tục trên ℝ.

f(‒1) = ‒1000,99; f(0) = 0,01; f(1) = ‒998,99.

Ta thấy f(‒1) . f(0) < 0; f(0) . f(1) < 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong các khoảng (‒1; 0) và (0; 1).

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số f(x) = 2x³ – 6x + 3.

Hàm số liên tục trên ℝ.

f(‒2) = ‒1; f(‒1) = 7; f(1) = ‒1; f(2) = 7.

Ta thấy f(‒2) . f(‒1) < 0; f(‒1) . f(1) < 0 và f(1) . f(2) < 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong các khoảng (–2; ‒1); (‒1; 1) và (1; 2).

Vậy phương trình có 3 nghiệm trên khoảng (–2; 2).

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số f(x) = 2x² + 6x + 4.

Hàm số liên tục trên ℝ nên cũng liên tục trên  $\left[-3;-\frac{3}{2}\right]$.

f(‒3) = 4;  $f\left(-\frac{3}{2}\right)$=  $-\frac{1}{2}$.

Ta thấy f(‒3) .  $f\left(-\frac{3}{2}\right)$< 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong các khoảng  $\left(-3;-\frac{3}{2}\right)$.

Vậy đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x³ – 5x² +7 và g(x) = x⁵ + x – 3.

Hàm số f(x) và g(x) liên tục trên ℝ.

f(‒1) = 1; f(‒2) = ‒21, vì f(‒1) . f(‒2) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (‒1; ‒2).

g(1) = ‒1; g(2) = 31, vì vì g(1) . g(2) < 0  nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).

Vậy đáp án C đúng.

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = m(x ‒ 1)(x + 2) + 2x + 1.

Hàm số f(x) liên tục trên ℝ nên cũng liên tục trên (‒2;1).

Ta có f(‒2) = ‒3; f(1) = 3, vì f(‒2) . f(1) < 0.

Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (‒2; 1).

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.