10 Bài tập Thể tích lăng trụ, khối hộp (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác đều cạnh a là $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Chiều cao của lăng trụ h = AA' = a.

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S.h=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$  .

Vậy thể tích khối lăng trụ $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=S_{\Delta ABC}.A{A}^{\text{'}}=a^3\sqrt{15}.$

Đáp án đúng là: A

Đặt cạnh của hình lập phương là x (x > 0).

Khi đó, ta có AA' = x; A'C' = $x\sqrt{2}$  .

Xét DAA'C' vuông tại A', có $A{C}^{\text{'}}=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2}=x\sqrt{3}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=a$  .

Vậy thể tích của hình lập phương là: V = a³.

Đáp án đúng là: A

Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có $\left\{\begin{array}{l}{S}_{ABCD}=10{\text{\hspace{0.17em}cm}}^{\text{2}}\\ S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=20{\text{\hspace{0.17em}cm}}^2\\ S_{AD{D}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=32{\text{\hspace{0.17em}cm}}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}AB.AD=10\\ AB.A{A}^{\text{'}}=20\\ A{A}^{\text{'}}.AD=32\end{array}\right..$

Nhân vế theo vế, ta được (AA'.AB.AD)² = 6400 Þ AA'.AB.AD = 80 cm³.

Đáp án đúng là: A

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B'C'.

Tam giác ABC cân tại A Þ  tam giác A'B'C' cân tại A' Þ A'M ^ B'C'.

Lại có B'C' ^ AA' (do AA' ^ (A'B'C')).

Từ đó suy ra B'C' ^ (AA'M) Þ B'C' ^ AM.

Do đó góc giữa mặt phẳng (AB'C') và mặt phẳng (A'B'C') là $\widehat{AM{A}^{\text{'}}}=60°$  .

Vì tam giác A'B'C' cân tại A', M là trung điểm của đoạn thẳng B'C' nên A'M ^ B'C' và $\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}M}=60°$ .

Tam giác vuông A'B'M, có $A^{\text{'}}M=A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.\cos \widehat{M{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=a.\cos {60}^0=\frac{a}{2}.$

Tam giác vuông AA'M, có $A{A}^{\text{'}}=A^{\text{'}}M.\tan \widehat{AM{A}^{\text{'}}}=\frac{a}{2}.\tan {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Diện tích tam giác $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{\Delta ABC}.A{A}^{\text{'}}=\frac{3a^3}{8}.$