10 Bài tập Nhận biết và chứng minh tam giác cân, tam giác đều (có lời giải)

Vì ∆ABC cân tại A nên ta có AB = AC và \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].

Xét ∆ABM và ∆ACN, có:

AB = AC (chứng minh trên).

\[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] (chứng minh trên).

BM = CN (giả thiết).

Do đó ∆ABM = ∆ACN (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra AM = AN (cặp cạnh tương ứng).

Do đó ∆AMN cân tại A.

Vậy ta chọn đáp án A.

Xét ∆OAB và ∆OAC, có:

\[\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = 90^\circ \].

OA là cạnh chung.

\[\widehat {AOC} = \widehat {AOB}\] (OA là phân giác của \[\widehat {xOy}\]).

Do đó ∆OAB = ∆OAC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AB = AC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó ∆ABC cân tại A (1).

Ta có OA là phân giác của \[\widehat {xOy}\].

Suy ra \[\widehat {BOA} = \widehat {AOC} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ \].

∆OAB vuông tại B: \[\widehat {BOA} + \widehat {OAB} = 90^\circ \].

Suy ra \[\widehat {OAB} = 90^\circ - \widehat {BOA} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \].

Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {OAC} = 30^\circ \].

Do đó ta có \[\widehat {OAB} + \widehat {OAC} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \].

Ta suy ra \[\widehat {BAC} = 60^\circ \] (2).

Từ (1), (2), ta suy ra ∆ABC là tam giác đều.

Vậy ta chọn đáp án D.

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét ∆ABD và ∆ACE, có:

AB = AC (chứng minh trên).

\[\widehat {BAC}\] là góc chung.

AD = AE (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (cặp cạnh tương ứng).

Vì ∆ABC cân tại A nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].

Suy ra \[\widehat {ABD} + \widehat {DBC} = \widehat {ACE} + \widehat {ECB}\].

Mà \[\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\] (chứng minh trên).

Do đó \[\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\] hay \[\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\].

Khi đó ta có ∆IBC cân tại I.

Vậy ta chọn đáp án A.