Bài tập Lập phương trình chính tắc của parabol (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Parabol (P) có phương trình đường chuẩn $x+\frac{1}{2}=0$ hay $x=-\frac{1}{2}.$

Do đó $\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$ nên p = 1.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là y² = 2x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Do tọa độ tiêu điểm của (P) là F(5; 0) nên ta có $\frac{p}{2}=5,$ suy ra p = 10 nên 2p = 20.

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là : y² = 20x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi tọa độ tiêu điểm của (P) là $F\left(\frac{p}{2};0\right).$

Khoảng cách từ F đến Δ là $2\sqrt{2}$ nên ta có: $d\left(F,\Delta \right)=\frac{\left|\frac{p}{2}-12\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}$

$\iff \left|\frac{p}{2}-12\right|=4\iff \left[\begin{array}{c}p=16\\ p=32\end{array}\right.$.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là: y² = 32x hoặc y² = 64x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ đỉnh O đến tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$ là $\frac{p}{2}$

Theo bài, ta có $\frac{p}{2}=\frac{3}{4},$ suy ra $p=\frac{3}{2}$ nên 2p = 3.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 3x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng Δ: 3x – y = 0 hay y = 3x.

Phương trình hoành độ của (P) và Δ là: (3x)² = 2px ⇔ x(9x – 2p) = 0

⇔ x = 0 hoặc $x=\frac{2p}{9}.$

Tọa độ hai giao điểm của (P) và Δ là $A\left(0;0\right),B\left(\frac{2p}{9};\frac{2p}{3}\right).$

Khi đó ta có $AB=\sqrt{{\left(\frac{2p}{9}\right)}^2+{\left(\frac{2p}{3}\right)}^2}=\frac{2p\sqrt{10}}{9}.$

Mà theo bài, $AB=2\sqrt{10}.$ Do đó $\frac{2p\sqrt{10}}{9}=2\sqrt{10}\iff p=9.$

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y² = 18x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình tung độ giao điểm của d và (P) là: $y^2=\frac{16y}{k}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}y=0\\ y=\frac{16}{k}\end{array}\right.$.

Suy ra tọa độ điểm $A\left(\frac{16}{k^2};\frac{16}{k}\right)$. Tọa độ trung điểm M của OA là $M\left(\frac{8}{k^2};\frac{8}{k}\right)$.

Do đó ta có $x_M=\frac{8}{k^2}$ và $y_M=\frac{8}{k}$

Suy ra $y_M^2=\frac{64}{k^2}$ nên $y_M^2=8x_M$

Vậy tập hợp điểm M là parabol (P) có phương trình y² = 8x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm có dạng y² = 2px (p > 0).

Parabol đi qua điểm A(4; 9) nên ta có: 9² = 2p.4 suy ra $p=\frac{81}{8}$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là $y^2=\frac{81}{4}x$.