Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Tự luận

Điểm kiểm tra 15 phút môn Toán của học sinh lớp 9A được ghi lại trong bảng sau:

Vẽ biểu đồ tần số biểu diễn dữ liệu cho ở bảng trên.

Số cuộc gọi đến của một tổng đài viên hỗ trợ khách hàng mỗi ngày trong tháng 12/2014 được ghi lại như sau:

(a) Xác định cỡ mẫu.

(b) Lập bảng tần số cho mẫu số liệu trên.

(c) Có bao nhiêu giá trị có tần số lớn hơn 4?

Kết quả điều tra cân nặng của một số học sinh lớp 9 được ghi lại trong bảng sau:

(a) Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn số liệu ở bảng thống kê trên.

(b) Theo biểu đồ ở câu a) số học sinh có cân nặng ít nhất 49 kg là bao nhiêu em?

Bảng thống kê sau cho biết số lượng các thiên tai xảy ra tại Việt Nam giai đoạn 1990 – 2021:

(a) Lập bảng tần số tương đối biểu diễn số liệu trên.

(b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng hình quạt tròn biểu diễn số liệu.

Một vận động viên bắn 30 viên đạn vào bia với các điểm số thu được như sau:

(a) Lập bảng tần số và tần số tương đối cho dãy dữ liệu trên.

(b) Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng cho bảng tần số thu được ở câu a).

Trong bảng số liệu dưới đây có một số liệu không chính xác. Hãy tìm số liệu đó và sửa lại cho đúng.

Bảng sau ghi lại thời gian một bác sĩ khám cho một số bệnh nhân (đơn vị: phút):

(a) Hãy chia số liệu trên thành 5 nhóm, với nhóm thứ nhất là các bệnh nhân khám từ 5 phút đến 6,5 phút và lập bảng tần số ghép nhóm.

(b) Xác định nhóm có tần số cao nhất và nhóm có tần số thấp nhất.

Bảng sau thống kê cân nặng (đơn vị: kilogam) của các học sinh lớp 9 trong một trường học:

Hãy vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng biểu diễn số liệu trên.

Biểu đồ cột dưới đây mô tả tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của 200 chiếc bóng đèn dây tóc trong một lô sản xuất.

(a) Hãy lập bảng tần số mô tả dữ liệu biểu đồ trên.

(b) Một bóng đèn được cho là thuộc loại I nếu có tuổi thọ từ 1500 giờ trở lên. Hỏi có bao nhiêu bóng đền thuộc loại I trong số các bóng đèn được thống kê.

(c) Hãy vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng biểu diễn dữ liệu ở biểu đồ bên.

Xác định không gian mẫu của các phép thử sau:

(a) Gieo \[2\] lần một đồng xu có một mặt xanh và một mặt đỏ.

(b) Lấy ra một quả bóng từ một hộp chứa \[3\] quả bóng được đánh số \[1;2;3\], xem số, trả lại hộp rồi lấy ra một quả bóng từ hộp đó.

Bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng hai quả cầu gồm một quả màu đen và một quả màu trắng, cùng khối lượng và kích thước. Bạn Hải rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp đựng ba tấm thẻ \[A,B,C\].

(a) Xác định không gian mẫu của phép thử.

(b) Xét các biến cố sau:

\[E\]: “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu đen”.

\[F\]: “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và bạn Hải không rút được tấm thẻ \[A\]”.

Hãy mô tả kết quả thuận lợi của hai biến cố \[E\] và \[F\].

Bạn Nam viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số.

(a) Xác định không gian mẫu của phép thử.

(b) Hãy xác định các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:

\[C\]: “Số được viết là số tròn chục”.

\[D\]: “Số được viết là số chính phương”.

Bạn Cường giải một đề thi gồm có ba bài được đánh số \[1;2;3\]. Cường chọn lần lượt các bài để giải theo một thứ tự ngẫu nhiên.

(a) Xác định không gian mẫu của phép thử.

(b) Xác định các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:

\[A\]: “Cường giải bài \[3\] đầu tiên”.

\[B\]: “Cường giải bài \[2\] trước bài \[1\]”.

Một hộp có năm quả bóng được đánh số lần lượt từ \[1\] đến \[5\]. Bạn Lan và bạn An lần lượt lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp.

(a) Xác định không gian mẫu của phép thử.

(b) Xác định các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau:

\[A\]: “Số ghi trên quả bóng của bạn Lan lớn hơn số ghi trên quả bóng của bạn An”.

\[B\]: “Tổng các số ghi trên hai quả bóng lấy ra của hai bạn lớn hơn \[6\]”.

Một bó hoa gồm 3 bông hoa màu đỏ và 1 bông hoa màu vàng. Bạn Vi chọn ngẫu nhiên 2 bông hoa từ bó hoa đó.

(a) Liệt kê cách chọn mà bạn Vi có thể thực hiện.

(b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

\[A\]: “Trong hai bông hoa được chọn ra, có đúng một bông hoa màu vàng”.

\[B\]: “Trong hai bông hoa được chọn ra, có ít nhấ một bông hoa màu đỏ”.

Phân xưởng II của nhà máy có 2 kỹ sư, 25 kỹ thuật viên và 7 thợ học việc. Người ta chọn ngẫu nhiên một người trong số này để phỏng vấn về chế độ đãi ngộ của nhà máy.

Hãy tính xác suất của các biến cố:

(a) Chọn được một thợ học việc.

(b) Chọn được một kỹ sư hoặc kỹ thuật viên.

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đồi và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau:

(a) Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt một chấm.

(b) Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt ba chấm.

(c) Tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng \[6\].

Trong một túi chứa năm viên bi màu vàng và một số viên bi màu đỏ cùng kích thước và khối lượng. Bạn Linh lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, biết rằng xác suất của biến cố \[A\]: “Lấy được viên bi màu vàng” là \[0,5\]. Hỏi trong hộp có tổng bao nhiêu viên bi?

Một hộp đựng \[20\] viên bi đỏ và xanh có cùng kích thước, khối lượng. Tìm số viên bi mỗi màu, biết rằng xác suất của biến cố \[A\]: “Lấy được bi đỏ” khi thực hiện phép thử lấy ngẫu nhiên một viên bi là \[0,6\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = 4a\] và đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\] có bán kính \[R = \frac{{5a}}{2}\]. Tính cạnh \[AC\] theo \[a\].

Đường tròn nội tiếp tam giác đều \[ABC\] có bán kính bằng \[4{\rm{ dm}}\].

(a) Tính diện tích tam giác \[ABC\].

(b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \[ABC\] có bán kính bằng \[R = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\].

(a) Tính các cạnh của tam giác \[ABC\] theo \[a\].

(b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của \[ABC\] theo \[a\].

Cho tam giác \[ABC\] có \[AB = 5{\rm{ cm}}\], \[AC = 12{\rm{ cm}}\], \[BC = 13{\rm{ cm}}\].

(a) Tính diện tích tam giác \[ABC\].

(b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], có \[AB = 6{\rm{ cm}}\] và \[AC = 8{\rm{ cm}}\] ngoại tiếp đường tròn \[I\] bán kính \[r\]. Tính \[r\].

Dựa vào hình vẽ sau, hãy tính số đo các góc của tứ giác \[ABCD\], biết \[\widehat {DCx} = 135^\circ .\]

Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao \[BD\] và \[CE\] của tam giác \[ABC\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BD\] và \[CE\].

(a) Chứng minh \[ADHE\] là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh \[BCDE\] là tứ giác nội tiếp.

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Kẻ đường cao \[AH\] và phân giác trong \[AD\] của góc \[HAC\]. Phân giác trong của \[\widehat {ABC}\] cắt \[AH\], \[AD\] lần lượt tại \[M,N\]. Chứng minh rằng: \[MHDN\] là tứ giác nội tiếp.

Cho đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\], dây \[CD\] vuông góc với \[AB\] tại \[F\]. Gọi \[M\] là một điểm thuộc cung nhỏ \[BC\] (\[M\] khác \[B,C\]), hai đường thẳng \[AM\] và \[CD\] cắt nhau \[E\].

(a) Chứng minh tứ giác \[BMEF\] nội tiếp.

(b) Chứng minh tia \[MA\] là phân giác của góc \[\widehat {CMD}\].

(c) Chứng minh \[A{C^2} = AE.AM.\]

Cho đường tròn \[O\] đường kính \[AB\]. Dây cung \[MN\] vuông góc với \[AB\], \[\left( {AM < BM} \right)\]. Hai đường thẳng \[BM\] và \[NA\] cắt nhau tại \[K\]. Gọi \[H\] là chân đường vuông góc kẻ từ \[K\] đến đường thẳng \[AB\].

(a) Chứng minh tứ giác \[AHKM\] nội tiếp trong một đường tròn.

(b) Chứng minh rằng \[NB.HK = AN.HB.\]

(c) Chứng minh \[HM\] là tiếp tuyến của đường tròn \[O\].

Cho điểm \[M\] nằm ngoài đường tròn tâm \[O\]. Vẽ tiếp tuyến \[MA,MB\] của đường tròn với \[A,B\] là các tiếp điểm. Vẽ cát tuyến \[MCD\] không đi qua tâm \[O\] (\[C\] nằm giữa \[M\] và \[D\]); \[OM\] cắt \[AB\] và \[\left( O \right)\] lần lượt tại \[H,I\]. Gọi \[E\] là trung điểm của \[DC\].

(a) Chứng minh: \[MAOB,ABOE\] nội tiếp.

(b) Chứng minh \[MC.MD = M{A^2}\] và \[\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\].

(c) Chứng minh: \[OH.OM + MC.MD = M{O^2}\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nội tiếp \[\left( O \right)\]. Từ một điểm \[D\] trên cạnh \[BC\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[BC\] cắt \[AC\] tại \[F\] và cắt tia đối của tia \[AB\] tại \[E\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BF\] và \[CE\], tia \[HD\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\].

(a) Chứng minh tứ giác \[AECD\] nội tiếp.

(b) Chứng minh \[BF.BH = BD.BC\] và \[AK \bot BC\].

(c) Gọi \[I\] là trung điểm của \[EF\]. Chứng minh \[OI \bot AH\].

Cho đường tròn \[\left( O \right)\] có dây cung \[AB\] cố định. Kẻ đường kính \[IK\] vuông góc với \[AB\] tại \[N\] (\[I\] thuộc cung lớn \[AB\]). Lấy điểm \[M\] bất kì trên cung lớn \[AB\], \[MK\] cắt \[AB\] tại \[D\]. Hai đường thẳng \[IM\] và \[AB\] cắt nhau tại \[C\].

(a) Chứng minh rằng \[INDM\] là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh \[ND.NC = NI.NK\].

(c) Gọi \[E\] là giao điểm của đường thẳng \[ID\] và \[CK\]. Chứng minh \[E \in \left( O \right)\].

(d) Xác định vị trí của \[M\] trên cung lớn \[AB\] để tích \[DM.DK\] đạt giá trị lớn nhất.

Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh \[AD\] như hình vẽ. Tính các góc của tam giác \[ABC\].

Cho ngũ giác đều \[ABCDE\]. Gọi \[I\] là giao điểm của \[AD\] và \[BE\]. Chứng minh rằng:

(a) \[DIBC\] là hình bình hành;

(b) \[D{I^2} = AI.AD.\]

Đường tròn tâm \[O\] nội tiếp hình vuông \[ABCD\], tiếp điểm trên \[AB\] là \[M\]. Một tiếp tuyến với \[\left( O \right)\] cắt các cạnh \[BC,CD\] lần lượt ở \[E,F\]. Chứng minh rằng

(a) Các tam giác \[DFO\] và \[BOE\] đồng dạng.

(b) \[ME\parallel AF.\]

Cho ngũ giác đều \[ABCDE\] có tâm \[O\].

(a) Phép quay thuận chiều tâm \[O\] biến điểm \[A\] thành điểm \[C\] thì các điểm \[B,C,D,E\] tương ứng biến thành điểm nào?

(b) Chỉ ra các phép quay tâm \[O\] giữ nguyên hình ngũ giác đều đã cho.

Cho các số \[a,b,c\] dương thỏa mãn \[2ab + c\left( {a + b} \right) = 6\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{2a + 2b + c}}{{\sqrt {4{a^2} + 12} + \sqrt {4{b^2} + 12} + \sqrt {{c^2} + 12} }}\].

Cho \[a,b,c\] là các số thực dương thỏa mãn \[a + b + c = 1\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[A = \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }}\].

Một gia đình muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp với chiều dài \[x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\], chiều rộng \[x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\] và chiều cao \[{\rm{h }}\left( {\rm{m}} \right)\] có thể tích bằng \[{\rm{4 }}{{\rm{m}}^3}\]. Để xây dựng bể chứa nước này, gia đình đó cần phải trả \[500\,\,000\] đồng cho mỗi mét vuông để xây hai mặt đáy của bể và \[1\,\,000\,\,000\] đồng cho mỗi mét vuông để xây bốn mặt bể. Tính chi phí tối thiểu gia đình đó phải trả để xây bể chứa nước.

Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi là \[600{\rm{ m}}\] để xây dựng một vườn hoa. Với chiều rộng \[x\] của khu vườn, tìm \[x\] để diện tích vườn hoa xây được là lớn nhất.

Nhận dịp Tết Trung Thu, câu lạc bộ sinh viên muốn kinh doanh đèn ông sao. Chi phí để hoàn thiện mỗi chiếc đèn ông sao là \[7\] nghìn đồng. Với giá bán \[25\] nghìn đồng cho mỗi chiếc đèn ông sao, câu lạc bộ bán được \[200\] chiếc đèn. Để bán được nhiều đèn ông sao, câu lạc bộ sinh viên dự định giảm giá bán và ước tính rằng theo tỉ lệ cứ giảm giá \[1\] nghìn đồng mỗi chiếc đèn thì số lượng bán ra tăng thêm \[20\] chiếc. Vậy câu lạc bộ nên bán mỗi chiếc đèn với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất?

Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau. Giá bán của một viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (theo đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm? Trong trường hợp nào giá kim cương ban đầu giảm nhiều nhất?