Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 1)

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

 Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(f\left( 0 \right) = 3\).

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).

b) \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3\).

c) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x + C} \), với \(C\) là hằng số.

d) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thoả \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).

a) Parabol chứa đường cong \(AOD\) có phương trình là \(y = \frac{1}{{16}}{x^2}\).

b) Parabol chứa đường cong \(BOC\) có phương trình là \(y = - \frac{3}{4}{x^2}\).

c) Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ lớn hơn \(5,5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

d) Chí sản xuất \(1\) chiếc huy hiệu trên nhỏ hơn \(9\) triệu đồng.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\).

a) \(\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

b) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\).

Khi đó \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + 1\).

c) \(\int {f'\left( {2x} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{ - 1}}{{4x}} + C\).

d) Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(G\left( 2 \right) = 1\) và \(G\left( 5 \right) + G\left( { - 5} \right) = 0\). Ta tìm được \(G\left( { - 10} \right) = a\ln 10 + b\ln 5 + c\ln 2 + d\), với \(a,\,b,\,c\) là các số hữu tỷ. Ta có \(a + b + c + d = - 19\).

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Người ta cho một chiếc xe điện mô hình chạy thử nghiệm trên một đường thẳng trong 24 giây với vận tốc \[v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}t\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;0 \le t \le 8\\4\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\;8 < t < 16\\ - \frac{1}{2}t + 12\;\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;16 \le t \le 24\end{array} \right.\](decimét/giây), trong đó \[t\] là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc xe bắt đầu chuyển động. Trong 24 giây chạy thử nghiệm đó, chiếc xe mô hình đi được quãng đường bao nhiêu decimét?

Hình vẽ bên cho biết một miền D (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng 4, miền D này gồm những điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông.

Trong các làng nghề chế tạo đá mỹ nghệ, người ta làm được nhiều đồ trang sức bằng đá rất đẹp. Một người thợ thủ công chế tạo vòng đeo tay hình tròn bằng đá xanh, biết rằng bán kính vòng ngoài của vòng là \(7\,{\rm{cm}}\), bán kính vòng trong là \(5\,{\rm{cm}}\) (hình vẽ). Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc \[{v_T}\,\left( t \right) = 5\sqrt t \] \[\left( {{\rm{km/h}}} \right)\], quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình \[{s_M}\left( t \right) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \,\left( {2\pi t} \right)\]\[\left( {{\rm{km}}} \right)\] (với \[t\] là thời gian tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được \[10{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{km}}\] đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu kilômét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Người nghệ sĩ vẽ một bông hoa không màu trên một miếng bìa hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) bằng một đường cong kín \(\left( L \right)\) rồi tô màu đen phần bên ngoài đường cong này của hình vuông (tham khảo hình vẽ). Nếu điểm \(M\) thuộc cạnh của hình vuông \(ABCD\) và tia \(OM\) cắt \(\left( L \right)\) tại điểm \(N\) thì \(MN = 2\,{\rm{dm}}\). Biết rằng \(AB = 8\,\,{\rm{dm,}}\) phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?