10 bài tập Nguyên hàm có điều kiện có lời giải

Đáp án đúng là: D

\(\int {\left( {2x + 3\sqrt x } \right)dx} = {x^2} + 2x\sqrt x + C\) mà F(1) = 0 C = −3.

Vậy \(\int {\left( {2x + 3\sqrt x } \right)dx} = {x^2} + 2\sqrt {{x^3}} - 3\).

Đáp án đúng là: A

Có\(F\left( x \right) = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C\).

Mà F(0) = 2024 C = 2023 F(x) = x² + e^x + 2023.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\);

Mà F(0) = 0 \(C = - \frac{1}{2}\). Do đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}\).

Khi đó \(F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C\).

Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Rightarrow C = 1\).

Do đó F(x) = −cosx + sinx + 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C\).

Vì \(F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\) \( \Rightarrow \frac{1}{2} - 6 + C = \frac{5}{2} \Rightarrow C = 8\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8\). Vậy F(2) = −2 + 9ln2.

Đáp án đúng là: B

Có \(f\left( x \right) = \int {\left( {12{x^2} + 2} \right)dx} = 4{x^3} + 2x + {C_1}\).

Mà f(1) = 3 nên C₁ = −3 f(x) = 4x³ + 2x – 3.

Có \(F\left( x \right) = \int {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right)dx} = {x^4} + {x^2} - 3x + C\).

Lại có F(0) = 2 C = 2 F(x) = x⁴ + x² – 3x + 2.

Khi đó F(1) = 1⁴ + 1² – 3.1 + 2 = 1.