18 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (có lời giải)

108 người thi tuần này 4.6 108 lượt thi 18 câu hỏi 45 phút

Câu 1

Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc \[\overrightarrow v \]= (10; 8; –3) (Hình vẽ). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là \[\overrightarrow w \] = (3,5; 1; 0).

a) Tìm toạ độ của vectơ tổng hai vận tốc \[\overrightarrow v \] và \[\overrightarrow w \].

b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc \[\overrightarrow u \]= (7; 2; 0), hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.

Xem đáp án

Lời giải

a) $\vec v + \vec w = (10 + 3,5;8 + 1; - 3 + 0) = (13,5;9; - 3)$.

b) $\vec u = (7;2;0) = 2(3,5;1;0) = 2\vec w$.

Do đó hai vectơ này cùng phương, cùng hướng với nhau.

Câu 2

Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình vẽ bên dưới) được đẩy bởi một lực \[\overrightarrow f \] = (5; 4; –2) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \[\overrightarrow a \]= (70; 20; – 40) (đơn vị: m).Tính công sinh bởi lực \[\overrightarrow f \] .

Xem đáp án

Lời giải

Công sinh bởi lực được $\vec f$ tính theo công thức: $A = \vec f \cdot \vec a = 5 \cdot 70 + 4 \cdot 20 + ( - 2) \cdot ( - 40) = 510\;{\rm{J}}$

Câu 3

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt S(0; 0; 20) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là A(20; 0; 0), B(0; 20; 0), C(–20; 0; 0), D(0; –20; 0) (đơn vị cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn 40 N và được phân bố thành bốn lực \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \] có độ lớn bằng nhau như Hình 4. Tìm toạ độ của các lực nói trên (mỗi centimét biểu diễn 1 N).

Xem đáp án

Lời giải

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt S(0; 0; 20) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt (ảnh 1)

Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình vuông.

Ta có \[\overrightarrow {SA} \] = (20; 0; –20), \[\overrightarrow {SB} \] = (0; 20; –20), \[\overrightarrow {SC} \] = (–20; 0; –20), \[\overrightarrow {SD} \] = (0; –20; –20), suy ra SA = SB = SC = SD = \[20\sqrt 2 \]. Do đó S.ABCD là hình chóp tứ giác đều.

Các vectơ \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \]có điểm đầu tại S và điểm cuối lần lượt là A′, B′, C′, D′. Ta có SA′ = SB′ = SC′ = SD′ nên S.A′B′C′D′ cũng là hình chóp tứ giác đều.

Gọi F là trọng lực tác dụng lên chậu cây và O′ là tâm của hình vuông A′B′C′D′. Ta có:

\[\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {SA'} + \overrightarrow {SB'} + \overrightarrow {SC'} + \overrightarrow {SD'} = 4\overrightarrow {SO'} \]

Ta có \[\left| {\overrightarrow F } \right|\] = 40, suy ra \[\left| {\overrightarrow {SO'} } \right|{\rm{ = }}SO' = 10\].

Do tam giác SO′A′ vuông cân nên \[SA' = SO'.\sqrt 2 = 10\sqrt 2 = \frac{1}{2}SA\], suy ra \[\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {SA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} = (10;0; - 10)\]

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

\[\overrightarrow {{F_2}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} B = (0;10; - 10)\]; \[\overrightarrow {{F_3}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} = ( - 10;0; - 10)\]; \[\overrightarrow {{F_4}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SD} = (0; - 10; - 10)\].

Câu 4

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có toạ độ là A(1; 1; 1), B(5; 7; 9), C(9; 11 ; 4). Tính:

a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.

b) Góc BAC.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (4;6;8);\overrightarrow {AC} = (8;10;3);\overrightarrow {BC} = (4;4; - 5)$.

Khi đó: $|\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {8^2}} = 2\sqrt {29} $;

$|\overrightarrow {AC} | = \sqrt {{8^2} + {{10}^2} + {3^2}} = \sqrt {173} ;{\rm{ }}\overrightarrow {BC} = \sqrt {{4^2} + {4^2} + {{( - 5)}^2}} = \sqrt {57} $

b) Ta có $\cos B A C = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | \cdot \vec{A C} ∣} = \frac{4.8 + 6.10 + 8.3}{2 \sqrt{29} \cdot \sqrt{173}} = \frac{119}{2 \sqrt{5017}} \Rightarrow B A C \approx 35^{°} 2$