(Trả lời ngắn) 30 bài tập Vectơ và các phép toán trong không gian (có lời giải)

43 người thi tuần này 4.6 114 lượt thi 30 câu hỏi 45 phút

Câu 1

Cho hình lập phương $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$. Gọi $M,N$lần lượt là trung điểm của ${A^\prime }{D^\prime }$ và ${C^\prime }{D^\prime }$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {{A^\prime }B} $. Số đo của góc $\varphi $ bằng bao nhiêu độ?

Xem đáp án

Lời giải

(Trả lời ngắn) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'D' và C'D' (ảnh 1)

Trả lời: $60^\circ $

Vì $MN//{A^\prime }{C^\prime }$ nên $\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{A^\prime }B} } \right) = \left( {\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} ,\overrightarrow {{A^\prime }B} } \right) = \widehat {{C^\prime }{A^\prime }B}$.

Tam giác ${C^\prime }{A^\prime }{B^\prime }$ là tam giác đều vì $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ ' là hình lập phương.

Suy ra $\widehat {{C^\prime }{A^\prime }B} = 60^\circ $.

Vậy $\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{A^\prime }B} } \right) = \overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }B} = 60^\circ $.

Câu 2

Cho hình lâp phương $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của ${A^\prime }{D^\prime }$ và ${C^\prime }{D^\prime }$. Tích vô hướng $\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {{C^\prime }B} = n{a^2}$ ( $n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

(Trả lời ngắn) Cho hình lâp phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'D' và C'D' (ảnh 1)

Trả lời: $n = - 0,5$

Vì $MN//{A^\prime }{C^\prime }$ nên $(\vec{M N}, \vec{C^{'} B}) = (\vec{A^{'} C^{'}}, \vec{C^{'} B}) = 180^{°} - \hat{A^{'} C^{'} B} = 120^{°}$ .

Ta có: $MN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},{C^\prime }B = a\sqrt 2 $. Suy ra $\vec{M N} \cdot \vec{C^{'} B} = | \vec{M N} | \cdot |\vec{C^{'} B}| \cdot \cos (\vec{M N}, \vec{C^{'} B}) = \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot \cos 120^{°} = - 0,5 a^{2}$

Vậy $n = - 0,5$.

Câu 3

Cho hình lập phương $ABCD \cdot A'B'C'D'\left( {H.2.6} \right)$. Trong các vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AD'} $ :

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {{\rm{ABCD}}} \right)$ ?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Xem đáp án

Lời giải

a) Trong các vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AD'} $, hai vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ có giá nằm trong mặt phẳng (ABCD)

b) Vì $ABCD \cdot A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $AD = DC = DD'$

Tam giác ADD' vuông tại $D$ nên theo định lý Pythagore ta có:

$AD' = \sqrt {A{D^2} + D{D^{{\rm{'}}2}}} = AD\sqrt 2 $

Tam giác ADC vuông tại $D$ nên theo định lý Pythagore ta có:

$AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = AD\sqrt 2 $

Do đó, $AD' = AC$ hay $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|$. Vậy hai vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD'} $ có cùng độ dài.

Câu 4

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC \cdot A'B'C'\left( {H.2.25} \right)$. Tính các góc $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ và $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

Vì $ABC \cdot A'B'C'$ là lăng trụ tam giác đều nên $AA'B'B$ là hình chữ nhật. Suy ra, $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} $. Do đó: $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {B'BC} = {90^ \circ }$ (do ${\rm{B}}{{\rm{B}}^{\rm{'}}}C'{\rm{C}}$ là hình chữ nhật)
Vì AA'B'B là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} $.
Do đó, $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \widehat {C'A'B'}$.
Vì tam giác $A'B'C'$ là tam giác đều nên $\widehat {C'A'B'} = {60^ \circ }$. Do đó, $\left( {\overrightarrow {AB} ,\widehat {A'C'}} \right) = {60^ \circ }$.

Câu 5

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính $\underset{A' C}{\to} . \underset{B' D'}{\to}$

Xem đáp án

Lời giải

(Trả lời ngắn) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính A'C.B'D' (ảnh 1)

Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' bằng 1. Khi đó, A'C' = B'D' = $\sqrt{2}$
Gọi E' là giao điểm của hai đường chéo A'C' và B'D' của hình vuông A'B'C'D'. Khi đó, E' là trung điểm của A'C' và B'D'. Suy ra $\underset{B^{'} D^{'}}{\to} = \underset{2 E' D'}{\to}$ và E'D' = $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Gọi E là trung điểm của CC' . Mà E' là trung điểm của A'C' nên EF là đường trung bình của tam giác A'C'C . Do đó, $\underset{A' C}{\to} = \underset{2 E' E}{\to}$ và E'E = $\frac{1}{2} A' C$
Áp dụng định lí Pythagore vào $∆ A' C' C$ vuông tại C' có: $A' C = \sqrt{A' C^{2} + C' C^{2}} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow E' E = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng định lí Pythagore vào $∆ D' C' E$ vuông tại C' có:

$E D'^{2} = C' D'^{2} + C' E^{2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Vì $E' D'^{2} + E' E^{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = E D'^{2}$ nên $∆ E' D' E$ vuông tại E'. Do đó, $\underset{E' E}{\to} ⊥ \underset{E' D'}{\to}$
Ta có: $\underset{A' C}{\to} . \underset{B' D'}{\to} = 2 . \underset{E' E}{\to} . 2 . \underset{E' D'}{\to} = 0$ (đpcm)

Câu 6

Như đã biết, nếu có một lực $\vec F$ tác động vào một vật tại điểm $M$ và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường ${\rm{MN}}$ thì công ${\rm{A}}$ sinh ra được tính theo công thức $A = \vec F \cdot \overrightarrow {MN} $, trong đó lực ${\rm{F}}$ có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường $MN$ tính bằng mét và công $A$ tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực $\vec F$ có độ lớn không đổi để lâm một vật di chuyển một quãng đường không đối thì công sinh ra sê lớn nhất khi lực tác đônng cưng hướng với chuyển động của vật. Hây giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thể nảo khi kêo (hoặc đầy) các vật nặng?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử