10 Bài tập Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, mặt phẳng (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.

Vì DABC đều nên AM ^ BC và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AM ^ BC nên BC ^ (SAM) ⇒ BC ^ AH.

Lại có AH ^ SM do đó AH ^ (SBC) ⇒ d(A, (SBC)) = AH.

Đáp án đúng là: A

Dựng SH ^ AB.  Do (SAB) ^ (ABCD) và (SAB) Ç (ABCD) = AB nên SH ^ (ABCD).

Dựng CK ^ AB.

Vì SH ^ (ABCD) ⇒ SH ^ CK mà CK ^ AB nên CK ^ (SAB).

Do CD // AB nên d(D, (SAB)) = d(C, (SAB)) = CK.

Xét DCKB vuông tại K, có CK = BC.sin60° = $a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM.

Vì DBCD, DACD đều nên BM ^ CD, AM ^ CD.

Do đó CD ^ (ABM) ⇒ CD ^ AH.

Vì AH ^ BM và AH ^ CD nên AH ^ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Mà ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm của DBCD.

Vì DBCD, DACD đều cạnh a nên $BM=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  và $HM=\frac{1}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Xét DAHM vuông tại H, có $AH=\sqrt{A{M}^2-H{M}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{12}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Đáp án đúng là: A

Kẻ AK ^ BC (K Î BC) và AH ^ DK (H Î DK)

Vì AD ^ AB, AD ^ AC nên AD ^ (ABC) ⇒ AD ^ BC.

Mà AK ^ BC. Do đó BC ^ (ADK) ⇒ BC ^ AH mà AH ^ DK nên AH ^ (BCD).

Do đó d(A, (BCD)) = AH.

Xét DABC vuông tại A có: $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}.$

Xét DADK vuông tại A có: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{K}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.$

Vậy $d\left(A,\left(BCD\right)\right)=AH=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}.$

Đáp án đúng là: B

Xét DABC vuông tại A, có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=3a\sqrt{2}\Rightarrow BH=a\sqrt{2}$ .

Xét DB'HB vuông tại H, có $B^{\text{'}}H=\sqrt{B{B^{\text{'}}}^2-B{H}^2}=\sqrt{4a^2-2a^2}=a\sqrt{2}$ .

Kẻ HE ^ AC tại E, HF ^ B'E tại F.

Vì B'H ^ (ABC) ⇒ B'H ^ AC mà AC ^ HE nên AC ^ (B'HE) ⇒ AC ^ HF.

Mà HF ^ B'E nên HF ^ (B'AC).

Do đó d(H, (B'AC)) = HF.

Có HE // AB (vì cùng vuông góc với AC) nên $\frac{HE}{AB}=\frac{CH}{CB}=\frac{2}{3}\Rightarrow HE=2a$ .

Xét DB'HE vuông tại H, có $\frac{1}{H{F}^2}=\frac{1}{B^{\text{'}}{H}^2}+\frac{1}{H{E}^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{3}{4a^2}\Rightarrow HF=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ .

Đáp án đúng là: B

Kẻ OH ^ SC ⇒ d(O, SC) = OH.

Xét DABC vuông tại B, có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$  .

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC nên $OA=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  .

Xét DSAC vuông tại A, có $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{4a^2+2a^2}=a\sqrt{6}$ .

Đáp án đúng là: D

Kẻ AH ^ BC tại H .

Có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC\Rightarrow AH=\frac{2S_{\Delta ABC}}{BC}=\frac{4a^2}{a}=4a$ .

Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BC mà AH ^ BC ⇒ BC ^ (SAH) ⇒ BC ^ SH.

Do đó d(S, BC) = SH.

Xét DSAH vuông tại A, có $SH=\sqrt{S{A}^2+A{H}^2}=\sqrt{9a^2+16a^2}=5a$  .

Đáp án đúng là: C

Kẻ CH ^ AM tại H. Khi đó d(C, AM) = CH.

Do DBCD đều cạnh a nên MC là đường cao và $MC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  .

Vì AC ^ (BCD) nên AC ^ CM.

Đáp án đúng là: B

Dựng AH ^ BC tại H ⇒ d(A, BC) = AH.

Vì SA ^ SB và SA ^ SC nên SA ^ (SBC) ⇒ SA ^ BC.

Lại có AH ^ BC nên BC ^ (SAH) ⇒ BC ^ SH.

Xét DSBC vuông tại S, có $\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{S{B}^2}+\frac{1}{S{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{5}{4a^2}\Rightarrow SH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$  .

Vì SA ^ (SBC) nên SA ^ SH.

Xét DASH vuông tại S, có $AH=\sqrt{S{A}^2+S{H}^2}=\sqrt{9a^2+\frac{4a^2}{5}}=\frac{7a\sqrt{5}}{5}$  .