Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

a) \(\frac{x}{7} = \frac{y}{3}\) và \(x - 24 = y\)

\(\frac{x}{7} = \frac{{x - 24}}{3}\)

\(3.x = 7.\left( {x - 24} \right)\)

\(3x = 7x - 168\)

\(3x - 7x = - 168\)

\( - 4x = - 168\)

\(x = 42\)

Ta có: \(x - 24 = y\)

Suy ra \(y = 42 - 24 = 18\)

b) \(\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{2}\) và \(y - x = 48\)

Ta có \(y - x = 48\) nên \(y = 48 + x\)

Khi đó \(\frac{x}{5} = \frac{{48 + x}}{7}\)

Suy ra \(7.x = 5.\left( {48 + x} \right)\)

\(7x = 240 + 5x\)

\(7x - 5x = 240\)

\(2x = 240\)

\(x = 120\)

Ta có \(y = 48 + x = 48 + 120 = 168\);

\(\frac{{120}}{5} = \frac{z}{2}\).

Do đó \(120.2 = 5z\); \(z = 240:5\); \(z = 48\)

c) \(\frac{{x - 1}}{{2005}} = \frac{{3 - y}}{{2006}}\) và \(x - y = 4009\)

\(x = 4009 + y\)

\(\frac{{4009 + y - 1}}{{2005}} = \frac{{3 - y}}{{2006}}\)

Suy ra \(\left( {4008 + y} \right).2006 = \left( {3 - y} \right).2005\)

\(4008.2006 + 2006y = 3.2005 - 2005y\)

\(2006y + 2005y = 3.2005 - 4008.2006\)

\(y = - 8034033:4011\)

\(y = - 2003\)

Ta có \(x = 4009 + y\)

\(x = 4009 + \left( { - 2003} \right) = 2006\)

d) \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\,;\,\,\frac{y}{4} = \frac{z}{5}\) và \(x - y - z = 28\)

\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\) suy ra \(x = \frac{{2y}}{3}\)

\(\frac{y}{4} = \frac{z}{5}\) suy ra \(z = \frac{{5y}}{4}\)

Ta có \(x - y - z = 28\)

\(\frac{{2y}}{3} - y - \frac{{5y}}{4} = 28\)

\( - \frac{{19}}{{12}}y = 28\) suy ra \(y = 28:\left( { - \frac{{19}}{{12}}} \right)\)

do đó \(y = \frac{{ - 336}}{{19}}\).

Ta có: \(x = \frac{{2y}}{3}\)

\(x = \frac{2}{3}.\left( {\frac{{ - 336}}{{19}}} \right)\) suy ra \(x = \frac{{ - 224}}{{19}}\)

Ta có: \(z = \frac{{5y}}{4}\)

\(z = \frac{5}{4}.\left( {\frac{{ - 336}}{{19}}} \right)\)

\(z = \frac{{ - 420}}{{19}}\)

e) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}\) và \(2x + 3y - z = - 14\)

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7} = k\)

Do đó \(x = 3k\;;\;y = 5k\;;\;z = 7k\)

\(2x + 3y - z = - 14\)

\(2.3k + 3.5k - 7k = - 14\)

\(14k = - 14\)

\(k = - 1\)

Suy ra \(x = 3.\left( { - 1} \right)\;;\;y = 5.\left( { - 1} \right)\;;\;z = 7.\left( { - 1} \right)\)

f) \(3x = y\;,\;5y = 4z\)và \(6x + 7y + 8z = 456\)

\(3x = y\) suy ra \(x = \frac{y}{3}\)

\(5y = 4z\) suy ra \(z = \frac{5}{4}y\)

Ta có: \(6x + 7y + 8z = 456\)

\(6.\frac{y}{3} + 7y + 8.\frac{5}{4}y = 456\)

\(19y = 456\)

\(y = 24\)

\(x = \frac{y}{3} = \frac{{24}}{3} = 8\)

\(z = \frac{5}{4}y = \frac{5}{4}.24 = 30\)

a) \(\frac{a}{5} = \frac{b}{4}\) và \({a^2} - {b^2} = 1\)

Đặt \(\frac{a}{5} = \frac{b}{4} = k\)

Do đó \(a = 5k\;;\;b = 4k\), ta có:

\({a^2} - {b^2} = 1\)

\({\left( {5k} \right)^2} - {\left( {4k} \right)^2} = 1\)

\(25{k^2} - 16{k^2} = 1\)

\(9{k^2} = 1\)

\({k^2} = \frac{1}{9}\)

\(k = \frac{1}{3}\) hoặc \(k = \frac{{ - 1}}{3}\)

Ÿ Với \(k = \frac{1}{3}\) suy ra :

\(a = 5\,.\,\frac{1}{3} = \frac{5}{3}\;;\;b = 4\,.\,\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)

Ÿ Với \(k = \frac{{ - 1}}{3}\) suy ra :

\(a = 5\,.\,\frac{1}{3} = \frac{{ - 5}}{3}\;;\;\)\(b = 4\,.\,\frac{1}{3} = \frac{{ - 4}}{3}\).

b) \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}\) và \({a^2} - {b^2} + 2{c^2} = 108\)

Do đó \(a = 2k\;;\;b = 3k\,;\;c = 4k\), ta có :

\({\left( {2k} \right)^2} - {\left( {3k} \right)^2} + 2{\left( {4k} \right)^2} = 108\)

\(4{k^2} - 9{k^2} + 32{k^2} = 108\)

\(27{k^2} = 108\)

\({k^2} = 4\)

\(k = 2\) hoặc \(k = - 2\)

Ÿ Với \(k = 2\) suy ra :

\(a = 2\,.\,2 = 4\;;\;b = 3\,.\,2 = 6\,;\;c = 4\,.\,2 = 8\).

Ÿ Với \(k = - 2\) suy ra :

\(a = 2\,.\,\left( { - 2} \right) = - 4\;;\;b = 3\,.\,\left( { - 2} \right) = - 6\,;\;c = 4\,.\,\left( { - 2} \right) = - 8.\)

Vậy \(a = 4\,;\;b = 6\;;\;c = 8\)

hoặc \(a = - 4\,;\;b = - 6\;;\;c = - 8\).