Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải         

a) Ta có: \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{b}{{2.2}} = 1 \Leftrightarrow b =  - 4.\)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;4} \right)\) suy ra \(4 = {2.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = 4.\)

Vậy \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 4.\)

b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = a - 4 + c\\3 = 4a - 8 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 2\\4a + c = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c =  - 1\end{array} \right..\)

c)  Vì (P) có đỉnh \(I\left( {1;4} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{2} = 1\\ - \frac{{{b^2} - 4c}}{4} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\c = 5\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 5.\)

d) (P) đi qua các điểm \(A\left( {0; - 1} \right),B\left( {1; - 1} \right);\,C\left( { - 1;1} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = c\\ - 1 = a + b + c\\\,\,\,\,1 = a - b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 1\\a = 1\\b =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 1.\) 

e) Ta có \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0\) (1)

 và \(\frac{3}{4} = a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{2}} \right) + c \Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3\)  (2) và \(a > 0.\)

Hàm số nhận giá trị bằng 1 khi \(x = 1\) nên \(a + b + c = 1\)           (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x + 1.\)

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {3;4} \right)\) và điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) thuộc đồ thị.

Ta có:

\( - \frac{b}{{2a}} = 3 \Leftrightarrow b =  - 6a.\)   (1);      \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 4\)    (2);      \(0 = a - b + c\)            (3)

Thay \(b =  - 6a\) vào (2) ta được: \(\frac{{4ac - 36{a^2}}}{{4a}} = 4 \Leftrightarrow c - 9a = 4\) (vì \(a \ne 0\)) \( \Rightarrow c = 4 + 9a.\)

Thay \(b =  - 6a\) và \(c = 4 + 9a\) vào (3) ta được: \(a + 6a + 4 + 9a = 0 \Leftrightarrow a =  - \frac{1}{4}.\)

Từ đó \(b =  - 6a = \frac{3}{2}\) và \(c = 4 + 9a = \frac{7}{4}.\)

Vậy \(y =  - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + \frac{7}{4}.\)

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\) suy ra \(c = 2.\)

Trục đối xứng là \(x = 1\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 1\).

Mà đồ thị đi qua điểm \(M\left( {3;4} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 2\\b =  - 2a\\4 = 9a + 3b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b =  - \frac{4}{3}\\c = 2\end{array} \right..\)

Vậy \(y = \frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{3}x + 2.\)

c) Parabol có đỉnh \(I\left( {2;0} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;2} \right).\)

Suy ra \(c = 2;\,\,\, - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b =  - 4a.\)

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = 0 \Rightarrow 16{a^2} - 8a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\) (vì \(a \ne 0\)) và \(b =  - 4a =  - 2.\)

Vậy \(y = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2.\)

a) Đỉnh \(I\left( {\frac{7}{{12}};\frac{{169}}{{24}}} \right),\) \(\left( C \right)\) giao với Oy tại \(\left( {0;5} \right)\) và \(\left( C \right)\) giao Ox tại \(\left( {\frac{5}{3};0} \right),\,\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right).\)

b) Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm giữa parabol và đường thẳng \(y = m.\)

Nếu \(m < \frac{{169}}{{24}}\) thì đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Nếu \(m = \frac{{169}}{{24}}\) thì đường thẳng cắt parabol tại một điểm nên phương trình có một nghiệm.

Nếu \(m > \frac{{169}}{{24}}\) thì đường thẳng không cắt parabol nên phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Hoành độ đỉnh: \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1\), suy ra \({y_I} =  - 4m - 2\).

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\) ( thỏa mãn).

Hướng dẫn giải

a) Khi \(t = 3(s)\) thì \(s\left( 3 \right) =  - {(3 - 2)^2} + 16\, = 15\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

b) Viên đạn đạt độ cao \(7\,{\rm{km}}\) khi \(s\left( t \right) = 7 \Leftrightarrow  - {(t - 2)^2} + 16\,\, = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\\t =  - 1(KTM)\end{array} \right.\)

Vậy khi bắn được \(5s\)thì viên độ có độ cao\(7\,{\rm{km}}\).

c) Giá trị lớn nhất của \(s\left( t \right) =  - {(t - 2)^2} + 16\,\,\)là \(16\,\) khi \(t = 2\).

Vậy khi bắn viên đạn được \(2s\) thì viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(16\,\)km.

d) Ta có \( - {(t - 2)^2} + 16\,\, = 0 \Leftrightarrow {(t - 2)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t =  - 2(KTM)\end{array} \right.\)

Vậy sau \(6s\)thì viên đạn sẽ rơi xuống mặt đất.

Hướng dẫn giải

a)\(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 2,\,\,{x_2} = 3\) và có hệ số \(a =  - 1 < 0\).

Ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)

b)Tam thức có \(\Delta ' =  - 9 < 0\) và hệ số \(a = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).