10 Bài tập Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ AB mà AB ^ AD Þ AB ^ (SAD) Þ AB ^ AK.

Nếu AK ^ AC mà AB ^ AK Þ AK ^ (ABC) Þ AK º SA vì SA ^ (ABC).

Þ SA ^ SD Þ DSAD có hai góc vuông (vô lý). Suy ra đáp án A sai.

Vì ABCD là hình vuông AC và CD không vuông góc với nhau. Do đó đáp án B sai.

Nếu AC ^ OH mà AC ^ BD nên AC ^ (SBD) Þ AC ^ SO

Þ DSOA có hai góc vuông (vô lý).

Do đó đáp án C sai.

Đáp án đúng là: C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Vì các DACD, DBCD đều nên $AN=BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Do đó DANB cân tại N, suy ra MN ^ AB

Chứng minh tương tự ta có MN ^ CD, nên d(AB, CD) = MN.

Vì M là trung điểm của AB nên $AM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét DAMN vuông tại M, có $MN=\sqrt{A{N}^2-A{M}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$  .

Đáp án đúng là: D

Vì SA ^ (ABCD) Þ SA ^ CD mà CD ^ AD Þ CD ^ (SAD) Þ CD ^ SD (1).

Mặt khác BC ^ CD (2).

Từ (1), (2), ta có CD là đoạn vuông góc chung của BC và SD.

Do đó d(BC, SD) = CD = AB (do ABCD là hình chữ nhật).

Xét DABC vuông tại B, có $AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{5a^2-2a^2}=\sqrt{3}a$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC, BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AC ^ BD tại O.

Do đó BO ^ AC (1).

Mà BB' ^ (ABCD) Þ BB' ^ BO (2).

Từ (1) và (2), ta có BO là đoạn vuông góc chung của AC và BB'.

Do đó d(AC, BB') = BO.

Mà $BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó d(AC, BB') = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Đáp án đúng là: B

Vì AA' // BB' nên AA' // (BB'D'D).

Do đó d(AA', BD') = d(AA', (BB'D'D)) = d(A, (BB'D'D)).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD mà BB' ^ AO (do BB' ^ (ABCD)).

Suy ra AO ^ (BB'D'D).

Do đó d(A, (BB'D'D)) = AO $=\frac{1}{2}AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .