Trắc nghiệm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

Khi đó \(\frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 1\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; 0) nên \(a.2 + b = 0\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; −2) nên \( - b =  - 2 \Rightarrow b = 2\). Do đó a = −1.

Vậy a + b + c = 2.

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

x = −2 làm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

y = 1 làm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{b} =  - 2\\\frac{a}{b} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c =  - 2b\\a = b\end{array} \right.\).

Lại có \(y' = \frac{{ - ac + 6b}}{{{{\left( {bx - c} \right)}^2}}} < 0\)\( \Leftrightarrow  - ac + 6b < 0\)\( \Leftrightarrow 2{b^2} + 6b < 0\)\( \Leftrightarrow  - 3 < b < 0\).

Suy ra b < 0; a < 0; c > 0.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số nhận x = 2 làm tiệm cận đứng và y = x + 1 làm tiệm cận xiên.

Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\) nên y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Suy ra d > 0.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty  \Rightarrow a < 0\)

Ta có y' = 3ax2 + 2bx + c.

Điểm cực đại và cực tiểu của hàm số đều âm nên \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{2b}}{{3a}} < 0\\\frac{c}{{3a}} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 0\\c < 0\end{array} \right.\) (vì a < 0).

Do đó có 1 số dương.

Dựa vào bảng biến thiên ta có

+) x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xét đáp án D.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - x - 3}}{{x - 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - x - 3}}{{x - 2}} =  + \infty \).

Do đó x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - x - 3}}{{x - 2}} =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - x - 3}}{{x - 2}} =  - 1\).

Do đó y = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\). Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).