Ta có ${\left( {\frac{1}{x} + \ln x + C} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}$, suy ra $f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}$ là hàm số cần tìm.

Câu 2/22

Nguyên hàm của hàm số $y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}$là

A. $\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + C$.

B. $\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{1}{{{x^2}}} + C$.

C. $\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C$.

D. $\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C$.

Lời giải

Áp dụng công thức nguyên hàm ta có \[\int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C\].

Câu 3/22

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = 6x + \sin 3x$, biết $F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}$.

A. $F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + \frac{2}{3}$.

B. $F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} - 1$.

C. $F\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{{\cos 3x}}{3} + 1$.

D. $F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + 1$.

Lời giải

\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right){\rm{d}}x} = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + C = F\left( x \right)\].

$F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}$ $ \Leftrightarrow 0 - \frac{1}{3}.1 + C = \frac{2}{3}$ $ \Leftrightarrow C = 1$. Vậy $F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + 1$.

Câu 4/22

Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ thỏa mãn $F (0) = 2$ , giá trị của $F (1)$ bằng

A. $4$.

B. $\frac{{13}}{3}$.

C. $2$.

D. $\frac{{11}}{3}$.

Lời giải

Ta có: \[\int {{x^2}} - 2x + 3{\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x + C\].

\[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] có \[F\left( 0 \right) = 2\]\[ \Rightarrow C = 2\].

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x + 2\]\[ \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{{13}}{3}\].

Câu 5/22

Cho \[\int_0^2 f \left( x \right)dx = 3\] và \[\int_0^2 g \left( x \right)dx = 7\], khi đó $\int_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx$

bằng

A. $16$.

B. $ - 18$.

C. $24$.

D. $10$.

Lời giải

Ta có

\[\int_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx = \int_0^2 f \left( x \right)dx + 3\int_0^2 g \left( x \right)dx = 3 + 3.7 = 24\].

Câu 6/22

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $_{- 1}^{0} f (x) d x = 3_{0}^{3} f (x) d x = 3.$ Tích phân $\mathop \smallint \limits_{ - 1}^3 f\left( x \right)dx$ bằng

A. $6$.

B. $4$.

C. $2$.

D. $0$

Lời giải

Có $\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = 3;\;\mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right)dx = 1;\;{\rm{\;}}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^3 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right)dx = 3 + 1 = 4$.

Câu 7/22

Cho \[\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1\]. Khi đó \[\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx\]bằng:

A. \[1\].

B. \[ - 3\].

C. \[3\].

D. \[ - 1\].

Lời giải

\[\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2\int\limits_1^2 {xdx} } = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2.} \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^2 = 1\\ \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow } \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1} \end{array}\].

Câu 8/22

Biết $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = a + b\ln c,$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},c < 9.$ Tính tổng $S = a + b + c.$

A. $S = 7$.

B. $S = 5$.

C. $S = 8$.

D. $S = 6$.

Lời giải

Ta có $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^3 {dx} + \int\limits_1^3 {\frac{2}{x}} dx = 2 + 2\left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 2 + 2\ln 3.$

Do đó $a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.$.

Câu 9/22

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = 5{x^4}$

A. $y = {x^5}$.

B. $y = 20{x^3}$.

C. $y = 4{x^5}$.

D. $y = \frac{{{x^4}}}{5}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/22

Cho hàm số $y = f(x)$liên tục trên $\mathbb{R}$, $\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 2$, $\int\limits_1^5 {f(x)dx} = 10$. Biểu thức $\int\limits_3^5 {f(x)dx} $bằng

A. $2$.

B. $12$.

C. $8$.

D. $20$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/22

Nếu $\int\limits_2^m {{x^3}dx} = 8$thì giá trị của $m$bằng

A. $ - 2\sqrt 3 $.

B. $2\sqrt[4]{3}$.

C. $ - 2\sqrt[4]{3}$.

D. $ \pm 2\sqrt[4]{3}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/22

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$có đồ thị như hình bên và đạo hàm $f'\left( x \right)$liên tục trên $\mathbb{R}$. Giá trị của biểu thức $\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)} dx$bằng

A. $1$.

B. $2$.

C. $0$.

D. $4$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/22

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + {e^x}$ là $\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + {e^x}.$

Đúng

Sai

b) Nếu $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} + \sin x + C} $ thì $f\left( x \right) = 12{x^2} + \cos x$.

Đúng

Sai

c) Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}$; biết $F\left( 0 \right) = 2$. Khi đó \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}ln3 + 2\].

Đúng

Sai

d) Cho hàm số $F\left( x \right)$ biết $F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} $ và $F\left( 0 \right) = 1$.

Khi đó $F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) - 1.$

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/22

Các mệnh đề sau đúng hay sai.

a) Nếu hàm $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ thì hàm số $F\left( { - x} \right)$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$.

Đúng

Sai

b) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {e^{2x}} + x - 3$ là \[\frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + C\]

Đúng

Sai

c) Biết \[F\left( x \right) = {x^3}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[\mathbb{R}\]. Giá trị của \[\int\limits_1^3 {\left( {1 + f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} \] bằng 28

Đúng

Sai

d) Hàm số $F\left( x \right) = m{x^3} + \left( {3m + 2} \right){x^2} - 4x + 3$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} + 10x - 4$. Khi đó giá trị của tham số $m$ là 5

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/22

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^2} - 3$ và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$

a) \[\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right)\].

Đúng

Sai

b) Nếu $F\left( 0 \right) = 1$ thì $F\left( 2 \right) = 12$.

Đúng

Sai

c) Nếu \[\int\limits_0^2 {af\left( x \right)dx} = 32\] thì $a = 6$.

Đúng

Sai

d) Biết \[\int\limits_0^2 {{e^{3x}}f\left( x \right)dx} = a + \frac{{b.{e^6}}}{{27}}\]. Khi đó: $27a - b = - 2$.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 16/22

Cho hàm số \[y = f(x)\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

$Cho hàm số \[y = f(x)\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới: (ảnh 1)$
Biết diện tích hai phần gạch chéo lần lượt là ${S_1} = 8,{S_2} = 20$.

a)\[\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx = 8} \].

Đúng

Sai

b) \[\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)dx = 28} \].

Đúng

Sai

c) Một vật chuyển động với phương trình \[v(t) = {t^2} - 4t + 5\]. Quãng đường vật đó đã di chuyển được từ lúc bắt đầu tới lúc gia tốc bị triệt tiêu là \[\frac{{14}}{3}\](m).

Đúng

Sai

d) Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa hình vuông cạnh ${\rm{30}}\,\,{\rm{cm}}$bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau đều có hình dạng một nửa elip như hình vẽ. Biết một nửa trục lớn là $AB = 8$${\rm{cm}}$, trục bé$CD = 12$${\rm{cm}}$. Diện tích bề mặt của hoa văn đó bằng \[900 - 48\pi \left( {c{m^2}} \right)\].

$Cho hàm số \[y = f(x)\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới: (ảnh 2)$

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 17/22

Biết rằng $\int\limits_2^t {\frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 4x + 3}}dx = f\left( t \right)} $ với $t > 4$. Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( t \right)$ trên $\left[ {5;6} \right]$ bằng $\frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $a + b$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 18/22

Tính diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ sau:

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 19/22

Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {x + 4} $, trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng $d:ax + by - 16 = 0$ đi

qua $A\left( {0;2} \right)$ và chia $\left( H \right)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình bên). Giá trị $a + b$ bằng

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 20/22

Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng \[OO' = 6\]\[{\rm{cm}}\], \[OA = 10\]\[{\rm{cm}}\], \[OB = 20\] \[{\rm{cm}}\], đường cong \[AB\] là một phần của parabol có đỉnh là điểm\[B\]. Tính thể tích của chiếc mũ (làm tròn đến hàng phần nguyên, đơn vị ${\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 14/22 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ thỏa mãn $F (0) = 2$ , giá trị của $F (1)$ bằng

Cho \[\int_0^2 f \left( x \right)dx = 3\] và \[\int_0^2 g \left( x \right)dx = 7\], khi đó \(\int_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx\)

bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và $_{- 1}^{0} f (x) d x = 3_{0}^{3} f (x) d x = 3.$ Tích phân \(\mathop \smallint \limits_{ - 1}^3 f\left( x \right)dx\) bằng