Bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = s'(t) = −3t² + 12t.

Có v(t) = 0 −3t² + 12t = 0 t = 0 hoặc t = 4.

Vậy tại thời điểm t = 4 s thì vận tốc của chất điểm bằng 0.

Đáp án đúng là: A

Có v(t) = S'(t) = 3t² +8t; a(t) = v'(t) = 6t + 8.

Thời điểm vận tốc bằng 11 m/s ứng với 3t² +8t = 11 t = 1 (giây).

Gia tốc của vật cần tìm là a(1) = 6 + 8 =14 (m/s²).

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = s' = −6t² + 48t +9.

Xét hàm số v(t) = −6t² + 48t +9, t [0; 10].

Ta có v'(t) = −12t + 48 = 0 t = 4 (thỏa mãn).

Ta có v(0) = 9; v(4) = 105; v(10) = −111 \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105\).

Đáp án đúng là: A

a) Ta có v(t) = s'(t) = −t² + 8t + 9 v(3) = 24 m/s.

b) Vật đứng yên khi v(t) = 0 −t² + 8t + 9 = 0 t = −1 (ktm) hoặc t = 9 (tm).

Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm t = 9 là:

\(s\left( 9 \right) = - \frac{1}{3}{.9^3} + {4.9^2} + 9.9 = 162\) (m).

c) Có a(t) = v'(t) = −2t + 8.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s².

d) Xét hàm v(t) = −t² + 8t + 9; v'(t) = −2t + 8; v'(t) = 0 t = 4.

Bảng biến thiên của hàm số v(t) = −t² + 8t + 9 với t ∈ [0; 9].

Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t [0; 4].

Đáp án đúng là: B

A. Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: N(7) = 100e^0,012.7 = 100e^0,084 ≈ 108,763 (triệu người)

B. Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: N(12) = 100e^0,012.12 = 100e^0,144 ≈ 115,488 (triệu người)

C. Trên đoạn [0; 50] ta có: N'(t) = 0,012.100.e^0,012t = 1,2e^0,012t > 0, ∀t [0; 50].

Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].

D. Ta có: N'(t) = 1,2e^0,012t .

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:

\(1,6 = 1,2{e^{0,012t}} \Leftrightarrow {e^{0,012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23,97\).

Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.

Đáp án đúng là: C

Gọi x là chiều rộng của đáy thùng, x > 0, đơn vị m.

chiều dài của đáy thùng là: 2x.

Ta có V = x.2x.h = 10 \(h = \frac{5}{{{x^2}}}\).

Chi phí làm đáy thùng là: 2x².75 = 150x² (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm diện tích xung quanh là : \(\left( {2x.\frac{5}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{5}{{{x^2}}}} \right).55 = \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm thùng là : \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\) (đơn vị nghìn đồng).

Xét hàm số \(T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}\), với x > 0.

Ta có \(T'\left( x \right) = 300x - \frac{{1650}}{{{x^2}}}\) ; \(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên T(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}\).

Vậy chi phí ít nhất bằng \(T = 150{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}} \right)^2} + \frac{{1650}}{{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}}} \approx 1402000\) đồng.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số N(t) = 1000 + 30t² – t³ (0 t 30).

Có N'(t) = 60t – 3t²; N'(t) = 0 t = 0 hoặc t = 20.

Ta có bảng biến thiên

Với t = 20 giây thì số vi khuẩn lớn nhất.

Đáp án đúng là: A

Đặt OP = x (0 < x < 4) BP = 4 – x; \(AP = \sqrt {4 + {x^2}} \).

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:

\({t_{\left( x \right)}} = {t_{AP}} + {t_{PB}} = \frac{{\sqrt {4 + {x^2}} }}{6} + \frac{{4 - x}}{{10}}\,\,\left( h \right)\, \Rightarrow {t'_{\left( x \right)}} = \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}}\).

\({t'_{\left( x \right)}} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {4 + {x^2}} }} - \frac{1}{{10}} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {4 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 4\\4{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: \({t_{\min }} = \frac{2}{3}\,\left( h \right)\, = \frac{2}{3}.60\,\left( {ph\'u t} \right) = 40\,ph\'u t.\)

</></>