14 bài tập Chứng minh hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K (có lời giải)

30 người thi tuần này 4.6 365 lượt thi 14 câu hỏi 45 phút

Câu 1/14

Chứng minh rằng: $F(x) = 5x + {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5 + 2x$ trên $\mathbb{R}$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có ${F^\prime }(x) = {\left( {5x + {x^2}} \right)^\prime } = 5 + 2x = f(x)$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Câu 2/14

Chứng minh rằng: $G(x) = \tan x$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ trên $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có ${G^\prime }(x) = {(\tan x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = g(x)$ với mọi $x$ thuộc $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Vậy $G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x)$ trên $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Câu 3/14

Chứng minh rằng $F\left( x \right) = x\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 1 + \ln x$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

$F'\left( x \right) = \ln x + x{\left( {\ln x} \right)^\prime } = \ln x + 1 = f\left( x \right)$ với mọi $x \in \left( {0; + \infty } \right)$ nên hàm số $F\left( x \right) = x\ln x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 1 + \ln x$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Câu 4/14

Cho hàm số $f(x) = 3{x^2}$ xác định trên $\mathbb{R}$. Chứng minh rằng $F(x) = {x^3}$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Xem đáp án

Lời giải

${F^\prime }(x) = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2} = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, suy ra $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Câu 5/14

Cho hàm số $f(x) = 3{x^2}$ xác định trên $\mathbb{R}$.Với $C$ là hằng số tuỳ ý, hàm số $H(x) = F(x) + C$ có là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ không?

Xem đáp án

Lời giải

${H^\prime }(x) = {(F(x) + C)^\prime } = {F^\prime }(x) + 0 = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, suy ra $H(x)$ cũng là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Câu 6/14

Cho hàm số $f(x) = 3{x^2}$ xác định trên $\mathbb{R}$. Giả sử $G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Tìm đạo hàm của hàm số $G(x) - F(x)$. Từ đó, có nhận xét gì về hàm số $G(x) - F(x)$ ?

Xem đáp án

Lời giải

${[G(x) - F(x)]^\prime } = {G^\prime }(x) - {F^\prime }(x) = f(x) - f(x) = 0$. Suy ra $G(x) - F(x) = C$ ( $C$ là hằng số ). Do đó, $G(x) - H(x)$ là hàm hằng.

Câu 7/14