5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích của một số với một vectơ có đáp án (Phần 2) (Vận dụng)

Đáp án đúng là: B

Do ba điểm A, B, C phân biệt và không thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Khi đó tồn tại các số thực x, y sao cho $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC},\forall M$.

$\iff \overrightarrow{AM}=x\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\right)+y\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}\right)$

$\iff \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{MC}$

$\iff \left(1-x-y\right)\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}$

$\iff \left(x+y-1\right)\overrightarrow{MA}=x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}$

Theo bài ta có $\overrightarrow{MA}=x\overrightarrow{MB}+y\overrightarrow{MC}$ 

Suy ra x + y – 1 = 1 nên x + y = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD nên I là trung điểm của AC và BD.

Do đó với điểm M bất kì thì $\left\{\begin{array}{l}2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\\ 2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\end{array}\right.$

Để $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=k$

$\iff \left|2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI}\right|=k$

$\iff 4\left|\overrightarrow{MI}\right|=k\iff \left|\overrightarrow{MI}\right|=\frac{k}{4}$

$\iff MI=\frac{k}{4}$ (*)

Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức (*) là đường tròn tâm  I bán kính $R=\frac{k}{4}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\\ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}\end{array}\right..$

Theo bài ta có $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$

$\iff \left|2\overrightarrow{MI}\right|=\left|2\overrightarrow{MJ}\right|\iff MI=MJ.$

Suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng IJ.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$ là đường trung trực của đoạn thẳng IJ.

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó IJ // BC.

Suy ra tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Đáp án đúng là: D

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=3$

$\iff \left|\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GM}\right)+\left(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM}\right)+\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM}\right)\right|=3$

$\iff \left|\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}-3\overrightarrow{GM}\right|=3$

$\iff 3\left|\overrightarrow{GM}\right|=3\iff GM=1$.

Do đó tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G bán kính bằng 1.

Vậy có vô số điểm M thỏa mãn.

Đáp án đúng là : B 

Ta có: $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$

$=2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)+4\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right).$

$=9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}$

Ta chọn điểm I sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}.$    (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}$              (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}$

$\iff 9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\iff 9\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{CA}$       (3)

Do đó $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$

$\iff \left|9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|$

$\iff \left|9\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|$  (do $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$)

$\iff 9MI=AB\iff IM=\frac{AB}{9}$

Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính $R=\frac{AB}{9}=\frac{a}{9}.$