Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Yên Viên (Hà Nội) có đáp án

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {4x + 6} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {2{x^2} + 6x + 50} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{4{x^2} + 18x + 18 - 2{x^2} - 6x - 50}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 12x - 32}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x - 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 8}\end{array}} \right.\).

Xét dấu \(y'\): Hàm số nghịch biến khi \(y' < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x - 32 < 0 \Leftrightarrow - 8 < x < 2\).

Kết hợp điều kiện \(x \ne - 3\), hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 8; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3;2} \right)\). Đối chiếu các phương án, khoảng \(\left( { - 3;2} \right)\) thỏa mãn. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng \(\left( { - 6;2} \right)\), đạo hàm \(y'{\kern 1pt} > 0\) và hàm số liên tục trên khoảng này. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 6;2} \right)\). Chọn D.

Ta có \(y = \frac{{ - 6{x^2} - 4x - 2}}{{3x - 4}} = - 2x - 4 - \frac{{18}}{{3x - 4}}\), do đó đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên là đường thẳng \[y = - 2x - 4\] và tiệm cận đứng là đường thẳng \[x = \frac{4}{3}\]. Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ \(\left( {\frac{4}{3}; - \frac{{20}}{3}} \right)\). Chọn B.

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) nên loại phương án C. Nhánh cuối cùng đi xuống khi \(x \to + \infty \) suy ra hệ số bậc cao nhất \(a < 0\), loại phương án A. Đồ thị có điểm cực đại nằm ở phía bên phải trục tung (\(x > 0\)), thử nghiệm với \(y = - {x^3} + 2{x^2}\) có \(y' = - 3{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \frac{4}{3} > 0\) (hoàn toàn phù hợp). Chọn B.

Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 6\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 4\). Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang riêng biệt là \(y = - 6\) và \(y = 4\). Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số bậc ba, ta thấy đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng của biến \(x\) từ \( - 1\) đến \(1\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\). Chọn D.

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 3x - 6\).

Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

Lập bảng biến thiên trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), ta thấy hàm số đồng biến từ \( - \infty \) tăng lên đến giá trị tại điểm biên \(x = - 1\).

Tại \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^3} - \frac{{3 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} - 6 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 1 - \frac{3}{2} + 6 - 4 = - \frac{1}{2}\). Do đó \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right)} y = - \frac{1}{2}\). Chọn C.

Ta biến đổi phương trình: \(4f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{3}{4}\).

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng nằm ngang \(y = - \frac{3}{4}\). Dựa vào hình vẽ, đường thẳng này nằm dưới trục hoành và chỉ cắt đồ thị tại đúng \(1\) điểm duy nhất ở nhánh bên phải, do đó phương trình có \(1\) nghiệm. Chọn B.