Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 12 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Tự luận

Tìm nguyên hàm của các hàm số

a) \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + x - 2024\);                                                                    

b) \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\);

c) \(f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\).

Tìm nguyên hàm của các hàm số

a)\(f\left( x \right) = 2\sin x + 3x\);                              b) \(f\left( x \right) = {\cos ^2}\frac{x}{2}\);                               c) \(f\left( x \right) = \sin 3x\).

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\), biết

a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{x},\left( {x \ne 0} \right)\);                          b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)\);             c) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}},\left( {x > 0} \right)\).

Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\) và \(F\left( 0 \right) = 2\). Tính \(F\left( e \right)\).

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau

a) \(f\left( x \right) = {8^x}{.2^{1 - 2x}}\);                b) \(f\left( x \right) = {\left( {{3^x} - \frac{1}{{{3^x}}}} \right)^2}\);                                             c) \(f\left( x \right) = \left( {{e^{x + 1}} - \frac{e}{{{x^2}}}} \right)dx\).

Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo m) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau một năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m.

Tính các tích phân sau

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x + 1}}{x}dx} \);     b) \(\int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)dx} \);                        c) \(\int\limits_0^{2024} {{3^x}dx} \).

Tính các tích phân sau

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \);                     b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos 2x}}{{\cos x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx} \);                                         c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2{{\sin }^2}x + 3} \right)dx} \)

Cho \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\2x - 1\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \).

Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc 72 km/h thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc \(a\left( t \right) = - \frac{8}{5}t\) (m/s²), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Năm phải trả.

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\).

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3,y = 0,x = 0,x = 2\) xung quanh trục \(Ox\).

Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng \(x\)(dm) (\(0 \le x \le 4\)) thì được thiết diện là hình tròn có bán kính \(\sqrt {4 - x} \) (dm). Tính thể tích của chiếc đèn cói.

Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;5} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 2y - z = 0,\left( R \right):x + y - z = 0\).

Lập phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua:

a) Điểm \(I\left( {3; - 4;1} \right)\) và vuông góc với trục \(Ox\).

b) Điểm \(K\left( { - 2;4; - 1} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Ozx} \right)\).

c) Điểm \(K\left( { - 2;4; - 1} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + 7y + 10z + 1 = 0\).

Trong không gian \(Oxyz\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(M\left( {1;3; - 2} \right)\) cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) không qua \(O\), song song mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 1\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {1;0; - 1} \right),C\left( {2; - 1;2} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

b) Chứng minh mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):y + 2z - 2025 = 0\).