82 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1: Phương trình mặt phẳng có đáp án - Đề 3

Chọn D

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1; - 2} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( Q \right)\] có véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {4;2 - m;m} \right)\].

Ta có: \[\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = 0 \Leftrightarrow 4.1 + 2 - m - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 2\].

Nên \[m = 2\].

Chọn B

Ta có vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)\), vec tơ pháp tuyến của \(\left( \beta \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;4; - m} \right)\).

Hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song khi \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{ - m}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}}\)

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn điều kiện trên.

Chọn A

+ Ta có: \((P):x + 2y - 2z - 1 = 0\), chọn \(A\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)\).

+ Xét đáp án A, ta có \(d\left( {A;\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3.\) Vậy đáp án A thoả mãn.

Chọn C

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;0; - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( P \right)\) và cách \(\left( P \right)\) một khoảng bằng 3 nên có dạng \(\left( Q \right):2x + 2y - z + d = 0,\,\,\left( {d \ne - 1} \right)\).

Mặt khác ta có \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + d} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {d + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = - 10\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Do đó \(\left( Q \right):2x + 2y - z + 8 = 0\) hoặc \(\left( Q \right):2x + 2y - z - 10 = 0\).

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( {2;0;0} \right)\], \[B\left( {0;3;0} \right)\], \[C\left( {0;0; - 1} \right)\]. Phương trình của mặt phẳng \[\left( P \right)\] qua \[D\left( {1;1;1} \right)\]và song song với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là

A. \[2x + 3y - 6z + 1 = 0\].

B. \[3x + 2y - 6z + 1 = 0\].

C. \[3x + 2y - 5z = 0\].

D. \[6x + 2y - 3z - 5 = 0\].

Chọn B

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ - 1}} = 1\).

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] nên

\[\left( P \right)\,:\]\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y - z + m = 0\,\,\,\left( {m \ne - 1} \right)\).

Do \[D\left( {1;1;1} \right) \in \left( P \right)\]có: \(\frac{1}{2}.1 + \frac{1}{3}.1 - 1 + m = 0\,\,\, \Leftrightarrow m - \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{6}\).

Vậy \(\left( P \right):\,\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y - z + \frac{1}{6} = 0\,\,\, \Leftrightarrow 3x + 2y - 6z + 1 = 0\).

Chọn A

\[\left( {ABC} \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\].

\[\left( P \right){\rm{//}}\left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( P \right):6x + 3y + 2z + m = 0\,\,\left( {m \ne - 12} \right)\].

\(\left( P \right)\) cách đều \(D\) và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {6.2 + 3.4 + 2.6 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {6.2 + 3.0 + 2.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} \Leftrightarrow \left| {36 + m} \right| = \left| {12 + m} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}36 + m = 12 + m\\36 + m = - 12 - m\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow m = - 24\] (nhận).

Vậy phương trình của \(\left( P \right)\) là \(6x + 3y + 2z - 24 = 0\).

Chọn C

Vì mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( Q \right)\]

\[ \Rightarrow vtpt\overrightarrow {{n_P}} = vtpt\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1\,;\,2\,;\,2} \right)\]

Phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] có dạng \[x + 2y + 2z + D = 0\]

Gọi \[A\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right) \in \left( Q \right)\]

\[ \Rightarrow d\left( {\left( P \right)\,,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A\,,\,\left( P \right)} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + D} \right|}}{3} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 + D = 3\\3 + D = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 0\,\,\,\,\,(l),\,qua\,O\,\\D = - 6\,\,(n)\end{array} \right.\]

Chọn B

Ta có, \[\left( Q \right)\]song song \[\left( P \right)\]nên phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):2x - 2y + z + C = 0\]; \[C \ne - 5\]

Chọn \[M\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right) \in \left( P \right)\]

Ta có \[d\left( {\left( P \right)\,;\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,;\,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {5 + C} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 3\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 4\\C = - 14\end{array} \right.\]

\[C = 4 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + 4 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\] cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_1}\left( { - 2\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ âm nên trường hợp này \[\left( Q \right)\] không thỏa đề bài.

\[C = - 14 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\]cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_2}\left( {7\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ dương do đó \[\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\] thỏa đề bài.

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\].

Chọn D

Gọi \[(P):\left\{ \begin{array}{l}qua{\rm{ }}A(1;0;0)\\VTPT{\rm{ }}\overrightarrow n = (A;B;C) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}(P):A.(x - 1) + By + Cz = 0\\B \in (P): - A - 2B + 3C = 0 \Leftrightarrow A = - 2B + 3C{\rm{ (1)}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}d(C;(P)) = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {B + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow 3({B^2} + {C^2} + 2BC) = 4({A^2} + {B^2} + {C^2})\\ \Leftrightarrow {B^2} + {C^2} - 6BC + 4{A^2} = 0{\rm{ (2)}}\end{array}\]

Thay \[{\rm{(1)}}\] vào \[{\rm{(2)}}\] ta có: \[{B^2} + {C^2} - 6BC + 4{( - 2B + 3C)^2} = 0 \Leftrightarrow 17{B^2} - 54BC + 37{C^2} = 0\]

Cho \[C = 1:{\rm{ }}17{B^2} - 54B + 37 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 1 \Rightarrow A = 1\\B = \frac{{37}}{{17}} \Rightarrow A = \frac{{ - 23}}{{17}}\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l}(P):x + y + x - 1 = 0\\(P): - 23x + 37y + 17z + 23 = 0\end{array}\]