Bài tập Một số bài toán tối ưu đơn giản lớp 12 (có lời giải)

Đặt \(A'M = x\,\,\left( {0 < x < 2200} \right)\), \(B'M = 2200 - x\)

Ta có \(AM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \,,\,\,BM = \sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} \)

Khi đó tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là:

\(AM + BM = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \, + \sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} \)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{500}^2}} \, + \sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} \) trên khoảng \(\left( {0;\,2200} \right)\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{500}^2}} }} - \frac{{2200 - x}}{{\sqrt {{{\left( {2200 - x} \right)}^2} + {{600}^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\)

Gọi đường chéo hình chữ nhật là \(a\). Ta có: \[R + r = \frac{a}{{1 + \sqrt 2 }}\].

Tìm max của \[{R^2} + {r^2}\]. Khảo sát hàm, ta tìm được \[R = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\] Từ đó ta tìm được \(\sqrt k  = \sqrt 2  - 1\).

Gọi \(x{\rm{ }}\left( {0 < x < 60} \right)\) là chiều dài của đoạn thứ hai, suy ra \(60 - x\) là độ dài đoạn thứ nhất.

Khi đó cạnh hình vuông là \(15 - \frac{x}{4}\) nên diện tích hình vuông là \({\left( {15 - \frac{x}{4}} \right)^2}\).

Chu vi của vòng tròn là \(2\pi R = x \Rightarrow R = \frac{x}{{2\pi }}\). Khi đó diện tích hình tròn là \(\pi {R^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\).

Khi đó tổng diện tích của hai hình sẽ là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {15 - \frac{x}{4}} \right)^2}\).

Khi đó ta có \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{2\pi }} - \frac{1}{2}\left( {15 - \frac{x}{4}} \right) = \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{\pi } + \frac{1}{4}} \right) - \frac{{15}}{2}\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{{15}}{{\frac{1}{\pi } + \frac{1}{4}}}\). Suy ra tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\).

Khi đó cạnh hình vuông sẽ là \(60 - \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }} \approx 33,61\).

Ta có \(2\left( {h + r} \right) + \pi r = 4\) \( \Rightarrow h = \frac{{4 - 2r - \pi r}}{2}\).

Diện tích của khung cửa là \(S = \frac{1}{2}\pi {r^2} + 2rh\) \( = \frac{1}{2}\pi {r^2} + 2r\left( {\frac{{4 - 2r - \pi r}}{2}} \right)\) \( =  - \frac{{\pi  + 4}}{2}.{r^2} + 4r\).

Ta có \(h = \frac{{4 - 2r - \pi r}}{2} > 0 \Leftrightarrow 0 < r < \frac{4}{{\pi  + 2}}\).

Xét hàm số \(S\left( r \right) =  - \frac{{\pi  + 4}}{2}.{r^2} + 4r\) trên \(\left( {0;\frac{4}{{\pi  + 2}}} \right)\) có \(S'\left( r \right) =  - \left( {\pi  + 4} \right)r + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow r = \frac{4}{{\pi  + 4}}\)

Bảng biến thiên

Vậy \(S\left( r \right)\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow r = \frac{4}{{\pi  + 4}}\).