Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _{_{{d_1}}}} = \left( {1;\, - 2;\, - 3} \right)\\{{\vec u}_{{d_2}}} = \left( { - 4;\,1;\,5} \right)\end{array} \right.\].

\[\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}.{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} .\sqrt {16 + 1 + 25} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Suy ra \[\left( {{d_1};{d_2}} \right) = {30^0}\]

Trục \(Ox\) có VTCP \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right).\)

Đường thẳng \(d\) có VTCP \[\vec u = \left( {1;2;2} \right).\]

Vậy \(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow i ,\vec u} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 0.2 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{3}.\)

Ta có \(\left( P \right):2x - y - {\rm{z}} - 3 = 0 \Rightarrow \) VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

\(\left( Q \right):x - {\rm{z}} - 2 = 0 \Rightarrow \)VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 0.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 30^\circ \).

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Gọi \[\alpha \] là góc tạo bởi đường thẳng \(\left( d \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (\[0^\circ  \le \alpha  \le 90^\circ \]), ta có:

\[\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\].

Ta có \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\] và \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {4; - 4;3} \right)\).

Vì \(\Delta \,{\rm{//}}\,\left( P \right)\) nên \[\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {{n_P}}  \Rightarrow 2m - n + 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2m + 2\].

Mặt khác: \(\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {4m - 4n + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + 1} .\sqrt {41} }} = \frac{{\left| {4m + 5} \right|}}{{\sqrt {41} \sqrt {5{m^2} + 8m + 5} }}\)

\( = \frac{1}{{\sqrt {41} }}.\sqrt {\frac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}}} \).

Vì \(0^\circ  \le \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) \le 90^\circ \) nên \(\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)\) lớn nhất khi \(\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)\) lớn nhất.

Xét hàm số \(f\left( m \right) = \frac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}} \Rightarrow f'\left( m \right) = \frac{{ - 72{m^2} - 90m}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}}\).

BBT

Dựa vào BBT ta có \(\mathop {\max }\limits_{m \in \mathbb{R}} f\left( m \right) = 5\) tại \(m = 0\).

Do đó \(\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)\) lớn nhất khi \(m = 0\). Suy ra \(\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\sqrt {205} }}{{41}}\).

Chọn B.

Mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 3y - 4 = 0\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2\,;\; - 3\,;\;0} \right)\].

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(z = 0\) nên có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0\,;\;0\,;\;1} \right)\].

Do đó, \[\cos \left( {\left( P \right)\,,\;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} \,,\;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = 0\], suy ra \[\left( {\left( P \right)\,,\;\left( {Oxy} \right)} \right) = 90^\circ \].

Vậy góc giữa mặt phẳng \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) bằng \[90^\circ \].

Chọn C.

Đường thẳng \(d\) chứa trục \(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {\,u\,} = \left( {1\,;\;0\,;\;0} \right)\); mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {\,n\,} = \left( {0\,;\;3\,;\; - 1} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi \(d\) và \(\left( P \right)\). Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {\,u\,} ,\overrightarrow {\,n\,} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {\,u\,} .\overrightarrow {\,n\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {\,u\,} } \right|.\left| {\overrightarrow {\,n\,} } \right|}} = 0\), suy ra \(\alpha = 0^\circ \).