Trắc nghiệm Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 1;4;3} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 4; - 3} \right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2.

Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 4.\left( { - 4} \right) + 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{26}}{{26}} = 1\).

Suy ra (d1, d2) = 0°.

 Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Đường thẳng AB và AC lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).

Suy ra (AB, AC) = 60°.

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Ta có \[\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\].

Suy ra (d, (P)) = 30°.

Vì Oy $\perp$ (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Ta có \(\left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right) = 120^\circ  \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 60^\circ \).

Ta có \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz), \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Khi đó \(\cos \left( {\left( {Oxz} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra ((Oxz), (P)) = 45°.