10 Bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC thì với O là một điểm bất kì ta luôn có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

Do đó ta có: $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

Vậy $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC

Có: $\widehat{ABD}={90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó, BD vuông góc với AB.

Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.

Do đó, BD // CH.

Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.

Do đó, HBDC là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta có: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\left(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HB}\right)+\left(\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HC}\right)$ (quy tắc ba điểm)

$=2\overrightarrow{OH}+(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC})=2\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HD}$.

Vậy $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ = $2\overrightarrow{OH}$+ $\overrightarrow{HD}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

Do F là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MF}$.

Do D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MD}$.

Do E là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{ME}$.

Từ đó, ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{ME}$

$\iff 2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=2(\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME})$

$\iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét tam giác BCD có:

I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD

Do đó, IJ lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD

$\Rightarrow \overrightarrow{JI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$.

Ta có:

$2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{DA}\right)$

$=2\left[\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AI}\right)\right]$

$=2\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{JI}\right)$         (quy tắc ba điểm)

$=2\overrightarrow{DB}+2\overrightarrow{JI}$

$=2\overrightarrow{DB}+2.\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$

$=3\overrightarrow{DB}$.

Vậy $2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{DA}\right)=3\overrightarrow{DB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC, do đó $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM}$

Vì I là trung điểm của AM nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}$.

Ta có:

$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ 

$=2\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC}\right)$ (quy tắc ba điểm)

$=4\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IA}+\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)$

$=4\overrightarrow{OI}+2\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IM}$          

$=4\overrightarrow{OI}+2(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM})$

$=4\overrightarrow{OI}+2.\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{OI}$.

Vậy $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OI}$.