Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm $BC;C{C}^{\text{'}};B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.$

Do I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC,AC{C}^{\text{'}}$ nên $\frac{AI}{AM}=\frac{AJ}{AN}=\frac{2}{3}$ nên $IJ\text{ // }MN\Rightarrow IJ\text{ // }\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right).$

Tương tự $IK\text{ // }\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\Rightarrow \left(IJK\right)\text{ // }\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right).$

Hay $\left(IJK\right)\text{ // }\left(B{B}^{\text{'}}C\right).$

Hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng  $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}$ nên $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{\frac{1}{2}AB.AC.\sin A}{\frac{1}{2}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.\sin A^{\text{'}}}=\frac{1}{4}.$

Cách khác: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}.$

Qua M dựng đường thẳng song song AB cắt SB tại N.

Qua M dựng đường thẳng song song AD cắt SD tại Q.

Qua N dựng đường thẳng song song BC cắt SC tại P.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}MN\text{ // }AB\Rightarrow MN\text{ // }\left(ABCD\right)\\ NP\text{ // }BC\Rightarrow NP\text{ // }\left(ABCD\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(MNPQ\right)\text{ // }\left(ABCD\right).$

Ta có tỉ lệ diện tích $\frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}={\left(\frac{MN}{AB}\right)}^2={\left(\frac{SM}{SA}\right)}^2=\frac{4}{9}.$

Lại có $S_{ABCD}=10.10=100\iff S_{MNPQ}=100.\frac{4}{9}=\frac{400}{9}.$

Do $\left(P\right)$ đi qua M và song song với $\left(SAD\right)$ nên cắt các mặt của hình chóp bằng các giao tuyến đi qua M và song song với $\left(SAD\right)$. Do ABCD là hình thoi và tam giác SAD đều. Nên thiết diện thu được là hình thang cân MNEF $\left(MN\text{ // }EF;MF=EN\right).$

Ta có $MN=a,\frac{EF}{BC}=\frac{SF}{SB}=\frac{MA}{AB}=\frac{x}{a}\Rightarrow EF=x;MF=a-x.$

Đường cao FH của hình thang cân bằng $FH=\sqrt{M{F}^2-{\left(\frac{MN-EF}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a-x\right).$

Khi đó diện tích hình thang cân là $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(a^2-x^2\right)$