100 câu trắc nghiệm Đường thẳng, Mặt phẳng trong không gian nâng cao (phần 1)

Chọn D.

 Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến- tập hợp  tất cả  điểm chung của hai mặt phẳng.

A sai. Nếu (P) và (Q) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận A; B; C thẳng hàng

B sai. Có vô số đường thẳng đi qua A, khi đó B; C  chưa chắc đã thuộc giao tuyến của (P)  và (Q) .

C sai. Hai mặt phẳng (P)  và (Q)  phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất. Nếu 3 điểm A; B; C  là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì A; B; C cùng thuộc giao tuyến.

Chọn D

+Hình chóp S. ABCD có 4 mặt bên là (SAB);  (SBC) ; (SCD) và (SAD): Do đó A đúng.

+ Tìm giao tuyến của hai mp( SAC)  và (SBD)

S là điểm chung thứ nhất 

Gọi  O là giao điểm của AC  và BD.  

$\left\{\begin{array}{l}O\in AC\subset \left(SAC\right)\Rightarrow O\in \left(SAC\right)\\ O\in BD\subset \left(SBD\right)\Rightarrow O\in \left(SBD\right)\end{array}\right.\Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai  

=> giao tuyến của ( SAC)  và (SBD) là  SO.

Do đó B đúng.

+ Tương tự, ta có giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và ( SBC) là SI ( I là giao điểm của AD và BC). Do đó C đúng.

 + Giao tuyến của ( SAB) và (SAD)  là SA mà SA không phải là đường trung bình của hình thang ABCD.

Do đó D sai.

+  Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB nên IJ// AB// CD

 => IJCD là hình thang. Do đó A đúng.

+ Ta có $\left\{\begin{array}{l}IB\subset \left(SAB\right)\\ IB\subset \left(IBC\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(SAB\right)\cap \left(IBC\right)=IB.$  Do đó B đúng.

+ Ta có $\left\{\begin{array}{l}JD\subset \left(SBD\right)\\ JD\subset \left(JB\text{}D\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(SBD\right)\cap \left(JBD\right)=JD.$  Do đó C đúng.

 + Trong mặt phẳng (IJCD), gọi  IC và JD cắt nhau tại M

Trong mp (ABCD), gọi O là giao điểm của AC  và BD.

    * Tìm giao tuyến của (IAC)  và ( JBD)

 $$\begin{gathered} S\in IA\subset \left(IAC\right) \\ S\in JB\subset \left(JBD\right) \end{gathered}$$ nên S là điểm chung thứ nhất

lại có:  $$\begin{gathered} O\in AC\subset \left(IAC\right) \\ O\in BD\subset \left(JBD\right) \end{gathered}$$ nên O là  điểm chung thứ hai .

=> giao tuyến của mặt phẳng (IAC) và (JBD) là SO

 Do đó D sai.

 Chọn D.

Ta có A là điểm chung thứ nhất của (ADM) và (SAC).

Trong mặt phẳng (BSD), gọi giao điểm của SI và DM là E.

Ta có:

+ E thuộc SI mà $SI\subset \left(SAC\right)$ suy ra $E\in \left(SAC\right)$.

+ E thuộc DM mà $DM\subset \left(ADM\right)$ suy ra $E\in \left(ADM\right)$.

Do đó E là điểm chung thứ hai của (ADM) và (SAC).

Vậy AE là giao tuyến của (ADM) và (SAC).

Chọn B.

+ Xét hai mp ( ACD) và (IJM) có:

$M\hspace{0.17em}\in (\hspace{0.17em}ACD); M\hspace{0.17em}\in (IJM\hspace{0.17em})$ nên M là điểm chung thứ  nhất

 $$\begin{gathered} H\in IJ\subset \left(IJM\right) \\ H\in CD\subset \left(ACD\right) \end{gathered}$$  nên H là điểm chung thứ hai

Vậy giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và ( IJM) là MH

Chọn D. 

Chọn mặt phẳng phụ chứa CD là (BCD)

Do NP  không song song CD nên NP cắt CD tại E

Điểm $E\in NP\Rightarrow E\in \left(MNP\right).$

Vậy $CD\cap \left(MNP\right)$ tại E.

Chọn A

Vì G là trọng tâm tam giác BCD và F  là trung điểm của CD nên G thuộc (ABF)

Ta có E là trung điểm của AB nên E thuộc ( ABF).

Gọi M là giao điểm của EG và AF mà $AF\subset \left(ACD\right)$ suy ra M thuộc (ACD).

Vậy giao điểm của EG và mp (ACD)  là giao điểm  M của EG và AF

Chọn B.

Gọi O  là tâm hình bình hành ABCD  suy ra O  là trung điểm của AC.

Nối AM cắt SO tại I mà $SO\subset \left(SBD\right)$ suy ra $I=AM\cap \left(SBD\right).$

Tam giác SAC có M; O lần lượt là trung điểm của  SC; AC

Mà  AM và SO cắt nhau tại I  suy ra I là trọng tâm tam giác SAC nên IA= 2IM

Điểm I  nằm giữa A và M suy ra $\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{MI}=-2\overrightarrow{IM}.$

Chọn A.

+ Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.                       

+ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (AMB).

Ta có B là điểm chung thứ nhất của 2 mp đó.

 Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AM và SO.

 Ta có:

+ K thuộc SO mà $SO\subset \left(SBD\right)$ suy ra $K\in \left(SBD\right)$

+ K thuộc AM mà $AM\subset \left(ABM\right)$ suy ra $K\in \left(ABM\right)$

Suy ra K  là điểm chung thứ hai của (SBD)  và (ABM).

Do đó giao tuyến của 2 mp này là: BK..

+ Trong mặt phẳng (SBD), gọi SD và BK cắt nhau tại N. Ta có:

▪ N thuộc BK mà $BK\subset \left(ABM\right)$ suy ra $N\in \left(ABM\right)$ .

▪ N thuộc SD

Vậy giao điểm của SD và (ABM) là N.

Chọn C.

+ Chọn mặt phẳng phụ (ABC)  chứa BC.

+ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IHK) .

Ta có H là điểm chung thứ nhất của (ABC ) và (IHK) .

Trong mặt phẳng (SAC)  do IK  không song song với AC nên gọi  giao điểm của IK và CA là F. Ta có

- F thuộc AC mà $AC\subset \left(ABC\right)$ nên $F\in \left(ABC\right)$

- F thuộc IK mà $IK\subset \left(IHK\right)$ nên $F\in \left(IHK\right)$

Suy ra F là điểm chung thứ hai của  (ABC) và (IHK) .

Do đó giao tuyến của (ABC) và (IHK) là HF.

+ Trong mặt phẳng (ABC) , gọi giao điểm HF và BC là E. Ta có

▪ E thuộc HF mà $HF\subset \left(IHK\right)\to E\in \left(IHK\right)$

▪E thuộc BC.

Vậy  giao điểm của BC và (IHK) là E.

 Chọn C

+ Gọi Q là trung điểm của SD.

Tam giác SAD có M; Q  lần lượt là trung điểm của SA; SD suy ra  MQ // AD

Tam giác SBC có  N ; P  lần lượt là trung điểm của SB; SC suy ra  NP // BC

Mặt khác AD // BC  suy ra MQ // NP và  MQ= NP nên MNPQ là hình bình hành .

+  (MNP) và ( SAD) có NP // AD nên chúng cắt nhau theo giao tuyến Mx // AD// BC. – đó chính là MQ, thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP) là hình bình hành : MNPQ.

Do S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có diện tích là:

$S=a^2$

Tứ giác MNPQ là hình  vuông có độ dài cạnh là:  $M\hspace{0.17em}N =\frac{AB}{2}= \frac{a}{2}$

Vậy diện tích  MNPQ là $S_{MNPQ}= {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}.$

Chọn C.

Gọi M; N  lần lượt là trung điểm của AB và B C  suy ra  AN và MC cắt nhau tại G

Dễ thấy mặt phẳng (GCD)  cắt đường thắng AB  tại điểm M.

Suy ra tam giác MCD  là thiết diện của mặt phẳng  (GCD)  và tứ diện.

Tam giác ABD đều cạnh a, có M  là trung điểm AB suy ra  $MD\hspace{0.17em}= \frac{a\sqrt{3}}{2}$  (1)

Tam giác A BC đều cạnh a, có $MC\hspace{0.17em}= \frac{a\sqrt{3}}{2}$  (2)

Từ (1)  và (2) suy ra:  tam giác MCD cân tại M.

Gọi H là trung điểm của CD. Vì tam giác MCD cân tại M nên MH đồng thời là đường cao

Diện tích tam giác MCD là:  $S\hspace{0.17em}= \frac{1}{2}\hspace{0.17em}MH. \hspace{0.17em}CD$

Chọn B.

Trong tam giác BCD có: Plà trọng tâm, N là trung điểm BC .

Suy ra N; P; D  thẳng hàng.

Vậy thiết diện là tam giác MND.

Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên:$MN\hspace{0.17em}= \frac{AB}{2} = a$

Tam giác ADC đều,độ dài cạnh 2a, đường cao DM nên :  $DM\hspace{0.17em}= DC. \sin {60}^0= a\sqrt{3}$

Tam giác BCD đều, độ dài cạnh 2a, đường cao  DN nên:  $DN\hspace{0.17em}= DC.\sin {60}^0 = a\sqrt{3}$

Do đó tam giác MND cân tại D.

Gọi H là trung điểm  MN  suy ra  DH và  MN vuông góc với nhau..

$MH = \frac{MN}{2} =\frac{a}{2}$

Diện tích tam giác $S_{\Delta MND}=\frac{1}{2}MN.DH=\frac{1}{2}MN.\sqrt{D{M}^2-M{H}^2}=\frac{a^2\sqrt{11}}{4}$

Chọn C.

Ta có giao tuyến của 2 mp (ABD) và (BCD)  là BD.

Lại có $\left\{\begin{array}{l}I\in MP\subset \left(ABD\right)\\ I\in NQ\subset \left(BCD\right)\end{array}\right.\Rightarrow I$ thuộc giao tuyến của (ABD)  và (BCD).

=> I thuộc BD => 3 điểm I; B; D  thẳng hàng.

 Chọn B.

Ta có

+ M thuộc SB  suy ra M  là điểm chung của (LMN) và ( SBC) .

+ I  là điểm chung của (LMN) và (SBC)

+ J  là điểm chung của (LMN) và (SBC) .

Vậy M; I; J  thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của (LMN)  và (SBC).

Chọn B.

Gọi giao điểm của AD và BC là I.

Trong mặt phẳng (SBC) , gọi K là giao điểm của BM và SI. Trong mặt phẳng (SAD) , gọi N là giao điểm AK và SD.

Khi đó N  là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB).

Gọi giao điểm của AB và CD là O. Suy ra

+ O thuộc ( AMB).

+ O thuộc CD mà $CD\subset \left(SCD\right)$ suy ra O thuộc ( SCD).

Do đó $O\in \left(AMB\right)\cap \left(SCD\right)$ (1)

Mà giao tuyến của (AMB) và ( SCD) là MN        (2)

Từ (1) và (2) , suy ra O thuộc MN.

Vậy ba đường thẳng  AB; CD; MN đồng quy.

Chọn C.