Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án (Đề 1)

Đáp án D

Phương pháp:

Đưa các phương trình về dạng phương trình tích.

Sử dụng các phương trình lượng giác cơ bản \[\sin x = a;\cos x = a,\tan x = b,\cot x = b\] với \[ - 1 \le a \le 1\].

Cách giải:

Đáp án A: \[{\sin ^2}x + \sin x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sin x + 3} \right)\left( {\sin x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 3\left( {VN} \right)\\\sin x = 2\;\left( {VN} \right)\end{array} \right.\].

Nên loại A.

Đáp án B: \[\cos x = \frac{\pi }{2}\] vô nghiệm vì \[\frac{\pi }{2} > 1\], do đó loại B.

Đáp án C: \[{\cot ^2}x - \cot x + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\cot x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} = 0\] (vô nghiệm) nên loại C.

Đáp án D: \[\begin{array}{l}2\cos 2x - \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - \cos x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x - \cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = \frac{5}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

Đáp án C

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về chu kì tuần hoàn của hàm số \[y = \sin x\].

Cách giải

Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì \[T = 2\pi \].

Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton: \[{\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \]

Từ đó tìm hệ số của \[{x^3}\] trong khai triển.

Cách giải:

Ta có: \[{\left( {1 - 2x} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { - 2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { - 2} \right)}^k}} {x^k}\].

Số hạng chứa \[{x^3}\] ứng với \[k = 3\].

Suy ra hệ số cần tìm là: \[C_8^3.{\left( { - 2} \right)^3} = - 448\].

Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm \[I\left( {a;b} \right)\] biến \[M\left( {x;y} \right)\] thành \[M'\left( {x';y'} \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left( {1 - k} \right)a\\y' = ky + \left( {1 - k} \right)b\end{array} \right.\]

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo véctơ \[\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\] biến \[M\left( {x;y} \right)\] thành \[M'\left( {x';y'} \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\].

Cách giải

Gọi \[M\left( {x;y} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\]

Gọi \[M'\left( {x';y'} \right)\] là ảnh của \[M\left( {x;y} \right)\] qua phép vị tự tâm \[I\left( {2;3} \right)\] tỉ số \[k = - 1\].

Khi đó ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - x + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).2\\y' = - y + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x' + 4\\y = - y' + 6\end{array} \right.\] nên \[M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right)\]

Mà \[M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\] nên ta có \[\begin{array}{l}3\left( { - x' + 4} \right) - \left( { - y' + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow - 3x' + 12 + y' - 6 - 3 = 0\\ \Leftrightarrow - 3x' + y' + 3 = 0 \Leftrightarrow 3x' - y' - 3 = 0\end{array}\]

Do đó, ảnh của đường thẳng \[d:3x - y - 3 = 0\] qua phép vị tự tâm \[I\left( {2;3} \right)\] tỉ số \[k = - 1\] là đường thẳng \[d':3x - y - 3 = 0\] .

Ta tìm ảnh của đường thẳng d’ qua phép tịnh tiến theo véctơ \[\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\].

Gọi \[N\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in d':3x - y - 3 = 0\] và \[N'\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là ảnh của qua \[{T_{\overrightarrow v }}\].

Khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {x_1} + 1\\{y_2} = {y_1} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} - 1\\{y_1} = {y_2} - 3\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\].

Thay tọa độ \[N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\] vào phương trình đường thẳng \[d':3x - y - 3 = 0\] ta được: \[3\left( {{x_2} - 1} \right) - \left( {{y_2} - 3} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 3{x_2} - {y_2} - 3 = 0\]

Vậy ảnh của đường thẳng d’ qua phép tịnh tiến theo véctơ \[\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\] là đường thẳng \[{d_1}:3x - y - 3 = 0\].

Hay đường thẳng cần tìm là: \[{d_1}:3x - y - 3 = 0\].

Đáp án B

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về tổ hợp và hai quy tắc đếm cơ bản.

Cách giải

TH1: Đội tuyển gồm 1 học sinh khối 10 và 9 học sinh của 2 khối 11 và khối 12.

Số cách chọn là: \[C_5^1.C_{10}^9 = 50\] cách.

TH2: Đội tuyển gồm 2 học sinh khối 10 và 8 học sinh của 2 khối 11 và khối 12.

Số cách chọn là: \[C_5^2.C_{10}^8 = 450\] cách.

Vậy có \[450 + 50 = 500\] cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án A

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về quy tắc nhân.

Cách giải

Tập hợp các chữ số lẻ là \[M = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\]

Gọi số cần tìm là \[\overline {ab} \left( {a;b \in M} \right)\]

Khi đó a có 5 cách chọn và b có 5 cách chọn nên có \[5.5 = 25\] số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án A

Phương pháp

Đưa phương trình về dạng cơ bản: \[\cos f\left( x \right) = \cos g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\f\left( x \right) = - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\].

Cách giải

Ta có: \[\sin x = \cos 2x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\].

Vì \[x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\] nên \[x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}; - \frac{\pi }{2}} \right\}\].

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án A

Phương pháp

Hàm số \[y = \cos x\] có tập giá trị \[\left[ { - 1;1} \right]\].

Cách giải

Ta có tập giá trị của hàm số \[y = \cos \left( {2019x - \frac{\pi }{4}} \right)\] là \[\left[ { - 1;1} \right]\].

Đáp án B

Phương pháp

Sử dụng: \[{\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}} \].

Thay x và n bởi các số thích hợp để xuất hiện tổng cần tìm.

Cách giải

Ta có: \[{\left( {1 + x} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k{x^k}} \]

Thay \[x = 1\] ta có: \[\begin{array}{l}{2^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k} = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2018} + C_{2019}^{2018}\\ \Rightarrow C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2018} = {2^{2019}} - C_{2019}^0 - C_{2019}^{2019} = {2^{2019}} - 2\end{array}\]

Đáp án C

Phương pháp

Xác định tâm I của đường tròn \[\left( C \right)\].

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\] biến \[M\left( {x;y} \right)\] thành \[M'\left( {x';y'} \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\].

Cách giải

Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {0;1} \right)\].

Ảnh của \[I\left( {0;1} \right)\] qua tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \left( {3; - 2} \right)\] là \[I'\left( {x';y'} \right)\] là tâm của đường tròn \[\left( {C'} \right)\].

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x' = 0 + 3 = 3\\y' = 1 + \left( { - 2} \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {3; - 1} \right)\].

Đáp án B

Phương pháp

Chia cả hai vế cho 2 sau đó sử dụng công thức \[\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\] và \[\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\].

Cách giải

Ta có: \[\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\cos x + \sin \frac{\pi }{3}\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\].

Đáp án A

Phương pháp

Sử dụng hai quy tắc đếm cơ bản.

Cách giải

Gọi số cần tìm là \[\overline {abcd} \].

TH1: \[d = 0\] thì:

a có 5 cách chọn.

b có 4 cách chọn.

c có 3 cách chọn.

Suy ra có \[1.5.4.3 = 60\] số chẵn có chữ số tận cùng là 0.

TH2: \[d \in \left\{ {2;4} \right\}\] thì d có 2 cách chọn.

a có 4 cách chọn.

b có 4 cách chọn.

c có 3 cách chọn.

Suy ra có \[2.4.4.3 = 96\] số.

Vậy lập được tất cả \[96 + 60 = 156\] số thỏa mãn đề bài.

Đáp án A

Phương pháp

Hàm số \[y = \tan x\] xác định khi \[\cos x \ne 0\]

Cách giải

Hàm số \[y = \tan x\] xác định khi  \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \].

Nên TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

Đáp án D

Phương pháp

Hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên D thỏa mãn \[\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.\] thì nó là hàm số lẻ.

Cách giải

Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = 2x\cos 2x\] có TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].

Nên \[\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\].

Lại có \[f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right).\cos \left[ {2\left( { - x} \right)} \right] = - 2x\cos \left( { - 2x} \right) = - 2x\cos 2x = - f\left( x \right)\].

Nên hàm số \[y = 2x\cos 2x\] là hàm số lẻ.

Đáp án B

Phương pháp

Sử dụng tính đơn điệu của các hàm lượng giác cơ bản.

Cách giải

Hàm số \[y = \sin x\] nghịch biến trên mỗi khoảng \[\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\].

Đáp án C

Phương pháp

Sử dụng định nghĩa hình có trục đối xứng và hình có tâm đối xứng.

Cách giải

Hình 1 vừa có trục đối xứng và tâm đối xứng.

Hình 2 và hình 3 có trục đối xứng nhưng không có tâm đối xứng.

Hình 4 có tâm đối xứng nhưng không có trục đối xứng.

Đáp án A

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng chéo nhau.

Cách giải

Khẳng định: Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau là sai vì chúng có thể song song với nhau.

Đáp án B

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về cách xác định mặt phẳng trong không gian.

Cách giải

Đáp án A: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước là sai vì ta cần thêm điều kiện ba điểm này không thẳng hàng.

Đáp án B: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau cho trước là đúng.

Đáp án C: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng cho trước là sai vì ta cần thêm điều kiện điểm đó nằm ngoài đường thẳng.

Đáp án D: Sai.

Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về phép vị tự.

Cách giải

Có duy nhất 1 phép vị tự biến \[\left( {I;R} \right)\] thành \[\left( {I';R'} \right)\].

Đáp án B

Phương pháp

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \[\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Cách giải

Ta có: \[\cot x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Đáp án A

Phương pháp

Đếm số cách chọn \[\overline {abcdef} \] thỏa mãn \[a < b < c < d < e < f\].

Cách giải

Gọi số thỏa mãn bài toán là \[\overline {abcdef} \] với \[0 < a < b < c < d < e < f \le 9\]

NX: Mỗi cách chọn một bộ 6 chữ số \[a,b,c,d,e,f\] thì chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất sao cho \[a < b < c < d < e < f\].

Do đó mỗi số thỏa mãn bài toán là một tổ hợp chập 6 của 9 phần tử 1; 2;…; 9.

Số các số cần tìm là \[C_9^6\].

Đáp án B

Phương pháp

Tính độ dài các đoạn GA, GD, AD rồi nhận xét tính chất tam giác GAD.

Cách giải

Tam giác ACD có \[AC = CD = a,AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] nên \[A{E^2} = \frac{{A{C^2} + A{D^2}}}{2} - \frac{{C{D^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}\].

Tam giác BCD đều \[ \Rightarrow BE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Tam giác ABE có EM là đường trung tuyến của tam giác AEB nên:

\[E{M^2} = \frac{{E{A^2} + E{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{7{a^2}}}{{16}}\].

Xét tam giác BME và bộ ba điểm A, G, O thẳng hàng có: \[\frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{OB}}{{OE}}.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.2.\frac{{GE}}{{GM}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{GE}}{{GM}} = 1\] hay G là trung điểm của ME.

Xét tam giác ABD có DM là trung tuyến của \[\Delta ABD\] nên \[D{M^2} = \frac{{D{A^2} + B{D^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}\].

Tam giác DME có trung tuyến DG nên \[D{G^2} = \frac{{D{E^2} + D{M^2}}}{2} - \frac{{M{E^2}}}{4} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{8}}}{2} - \frac{{7{a^2}}}{{64}} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\].

Lại có: \[\begin{array}{l}\cos AEM = \frac{{A{E^2} + E{M^2} - A{M^2}}}{{2.AE.EM}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{16}}} }} = \frac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\\ \Rightarrow A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} - 2AE.EG.\cos AEG = \frac{{5{a^2}}}{8} + \frac{{7{a^2}}}{{64}} - 2.\sqrt {\frac{{5{a^2}}}{8}.\frac{{7{a^2}}}{{64}}} .\frac{{13}}{{2\sqrt {70} }} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\end{array}\]

Tam giác ADG có \[A{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}},A{D^2} = \frac{{3{a^2}}}{4},D{G^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}}\].

Do đó \[\Delta GAD\] cân tại G.

Gọi H là trung điểm của AD thì \[AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4},G{H^2} = G{A^2} - A{H^2} = \frac{{21{a^2}}}{{64}} - \frac{{3{a^2}}}{{16}} = \frac{{9{a^2}}}{{64}} \Rightarrow GH = \frac{{3a}}{8}\].

Diện tích tam giác \[{S_{GAD}} = \frac{1}{2}.GH.AD = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{8}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}\].

Đáp án B

Phương pháp

-       Đếm số cách chọn 15 trong 25 câu để làm đúng.

-       Tính xác suất để làm đúng một câu.

-       Dùng quy tắc nhân xác suất.

Cách giải

Xác suất để làm đúng một câu là \[\frac{1}{4}\], xác suất để làm sai một câu là \[\frac{3}{4}\].

Chọn 15 trong 25 câu để làm đúng có \[C_{25}^{15}\] cách chọn.

Xác suất cần tìm là: \[C_{25}^{15}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{15}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{10}} = \frac{{{3^{10}}.C_{25}^{15}}}{{{4^{25}}}}\].

Đáp án D

Phương pháp

Đặt \[t = \sin x - \cos x\] tính \[\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\] thay vào phương trình.

Giải phương trình và kết luận.

Cách giải

Đặt \[t = \sin x - \cos x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\] thì \[{t^2} = 1 - 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\].

Thay vào phương trình ta được \[\begin{array}{l}\left| t \right| + 8.\frac{{1 - {t^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow 2\left| t \right| + 8 - 8{t^2} = 2 \Leftrightarrow 8{t^2} - 2\left| t \right| - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| t \right| = 1\\\left| t \right| = - \frac{3}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \pm 1\left( {TM} \right)\end{array}\]

TH1: \[t = 1\] thì \[\begin{array}{l}\sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\]

TH2: \[\begin{array}{l}\sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\]

Vậy có bốn điểm biểu diễn nghiệm của phương tình trên đường tròn lượng giác.

Đáp án A

Phương pháp

Tìm số hạng tổng quát trong khai triển, đánh giá tìm số hạng lớn nhất.

Cách giải

SHTQ: \[{T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{10 - k}}.{\left( {\frac{2}{3}x} \right)^{10 - k}} = C_{10}^k.\frac{1}{{{3^{10 - k}}}}.\frac{{{2^k}}}{{{3^k}}}.{x^k} = \frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}.{x^k}\].

Hệ số của SHTQ là \[\frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}}\].

Ta có: \[\begin{array}{l}\frac{{C_{10}^k{{.2}^k}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^{k + 1}{{.2}^{k + 1}}}}{{{3^{10}}}} \Leftrightarrow C_{10}^k{.2^k} < C_{10}^{k + 1}{.2^{k + 1}} \Leftrightarrow C_{10}^k < 2C_{10}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}} < 2.\frac{{10!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {9 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{10 - k}} < \frac{2}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 < 2\left( {10 - k} \right) \Leftrightarrow 3k < 19 \Leftrightarrow k < \frac{{19}}{3}\end{array}\]

Do đó: \[\frac{{C_{10}^0{{.2}^0}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^1{{.2}^1}}}{{{3^{10}}}} < ... < \frac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}}\] và \[\frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > \frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}} > ... > \frac{{C_{10}^{10}{{.2}^{10}}}}{{{3^{10}}}}\]

Mà \[\frac{{C_{10}^6{{.2}^6}}}{{{3^{10}}}} < \frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\] nên hệ số lớn nhất là \[\frac{{C_{10}^7{{.2}^7}}}{{{3^{10}}}}\].

Phương pháp

a)

- Xét \[\cos x = 0\] thay vào phương trình và kiểm tra.

- Xét \[\cos x \ne 0\] và chia cả hai vế của phương trình cho \[{\cos ^2}x \ne 0\] đưa về phương trình bậc hai ẩn \[\tan x\].

- Giải phương trình và kết luận nghiệm.

b) Đặt \[u = \sqrt {\cos x + m} \] đưa về hệ phương trình.

Tìm m để hệ có nghiệm và kết luận.

Cách giải

Phương pháp

a) Sử dụng định lí \[\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( P \right)\\b \subset \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a//b\end{array} \right. \Rightarrow d//a//b\]

b) Phương pháp xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng:

- Tìm mặt phẳng phụ \[\left( P \right)\] chứa đường thẳng a.

- Tìm giao tuyến d của \[\left( P \right)\] với \[\left( \alpha \right)\] đã cho.

- Tìm giao điểm của d với a.

Sử dụng định lí Ta-let suy ra tỉ số.

Cách giải

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {{\bf{SAB}}} \right)\] và \[\left( {{\bf{SCD}}} \right)\].

S là điểm chung của \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\].

\[AB//CD;AB \subset \left( {SAB} \right);CD \subset \left( {SCD} \right)\].

Suy ra  \[\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx//AB//CD\].

b) Xác định giao điểm K của đường thẳng AM với \[{\bf{mp}}\left( {{\bf{SBD}}} \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{{\bf{AK}}}}{{{\bf{AM}}}}\].

Ta có: \[AM \subset \left( {SAC} \right)\]

Dễ thấy \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\].

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó \[O \in AC \subset \left( {SAC} \right),O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\] nên  \[O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Do đó \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]

Trong \[\left( {SAC} \right)\], gọi \[K = AM \cap SO\] thì \[K \in AM,K \in SO \subset \left( {SBD} \right)\] nên \[K = AM \cap \left( {SBD} \right)\].

Do \[AB//CD\] nên \[\frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OA = \frac{2}{3}AC,OC = \frac{1}{3}AC\].

Gọi E là trung điểm của OC suy ra ME là đường trung bình của \[\Delta SCO \Rightarrow ME//SO\].

Mà \[OE = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.AC = \frac{1}{6}.AC \Rightarrow AE = AO + OE = \frac{2}{3}AC + \frac{1}{6}AC = \frac{5}{6}AC\].

\[ \Rightarrow \frac{{AK}}{{AM}} = \frac{{AO}}{{AE}} = \frac{4}{5}\].