Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án (Đề 1)

Đáp án D

Phương pháp:

Đưa các phương trình về dạng phương trình tích.

Sử dụng các phương trình lượng giác cơ bản \[\sin x = a;\cos x = a,\tan x = b,\cot x = b\] với \[ - 1 \le a \le 1\].

Cách giải:

Đáp án A: \[{\sin ^2}x + \sin x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sin x + 3} \right)\left( {\sin x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 3\left( {VN} \right)\\\sin x = 2\;\left( {VN} \right)\end{array} \right.\].

Nên loại A.

Đáp án B: \[\cos x = \frac{\pi }{2}\] vô nghiệm vì \[\frac{\pi }{2} > 1\], do đó loại B.

Đáp án C: \[{\cot ^2}x - \cot x + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\cot x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} = 0\] (vô nghiệm) nên loại C.

Đáp án D: \[\begin{array}{l}2\cos 2x - \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - \cos x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x - \cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\cos x = \frac{5}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

Đáp án C

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về chu kì tuần hoàn của hàm số \[y = \sin x\].

Cách giải

Hàm số \[y = \sin x\] tuần hoàn với chu kì \[T = 2\pi \].

Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton: \[{\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \]

Từ đó tìm hệ số của \[{x^3}\] trong khai triển.

Cách giải:

Ta có: \[{\left( {1 - 2x} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { - 2x} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( { - 2} \right)}^k}} {x^k}\].

Số hạng chứa \[{x^3}\] ứng với \[k = 3\].

Suy ra hệ số cần tìm là: \[C_8^3.{\left( { - 2} \right)^3} = - 448\].

Đáp án D

Phương pháp

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm \[I\left( {a;b} \right)\] biến \[M\left( {x;y} \right)\] thành \[M'\left( {x';y'} \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left( {1 - k} \right)a\\y' = ky + \left( {1 - k} \right)b\end{array} \right.\]

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo véctơ \[\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\] biến \[M\left( {x;y} \right)\] thành \[M'\left( {x';y'} \right)\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\].

Cách giải

Gọi \[M\left( {x;y} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\]

Gọi \[M'\left( {x';y'} \right)\] là ảnh của \[M\left( {x;y} \right)\] qua phép vị tự tâm \[I\left( {2;3} \right)\] tỉ số \[k = - 1\].

Khi đó ta có \[\left\{ \begin{array}{l}x' = - x + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).2\\y' = - y + \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right).3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x' + 4\\y = - y' + 6\end{array} \right.\] nên \[M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right)\]

Mà \[M\left( { - x' + 4; - y' + 6} \right) \in d:3x - y - 3 = 0\] nên ta có \[\begin{array}{l}3\left( { - x' + 4} \right) - \left( { - y' + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow - 3x' + 12 + y' - 6 - 3 = 0\\ \Leftrightarrow - 3x' + y' + 3 = 0 \Leftrightarrow 3x' - y' - 3 = 0\end{array}\]

Do đó, ảnh của đường thẳng \[d:3x - y - 3 = 0\] qua phép vị tự tâm \[I\left( {2;3} \right)\] tỉ số \[k = - 1\] là đường thẳng \[d':3x - y - 3 = 0\] .

Ta tìm ảnh của đường thẳng d’ qua phép tịnh tiến theo véctơ \[\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\].

Gọi \[N\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in d':3x - y - 3 = 0\] và \[N'\left( {{x_2};{y_2}} \right)\] là ảnh của qua \[{T_{\overrightarrow v }}\].

Khi đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {x_1} + 1\\{y_2} = {y_1} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2} - 1\\{y_1} = {y_2} - 3\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\].

Thay tọa độ \[N\left( {{x_2} - 1;{y_2} - 3} \right)\] vào phương trình đường thẳng \[d':3x - y - 3 = 0\] ta được: \[3\left( {{x_2} - 1} \right) - \left( {{y_2} - 3} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 3{x_2} - {y_2} - 3 = 0\]

Vậy ảnh của đường thẳng d’ qua phép tịnh tiến theo véctơ \[\overrightarrow v \left( {1;3} \right)\] là đường thẳng \[{d_1}:3x - y - 3 = 0\].

Hay đường thẳng cần tìm là: \[{d_1}:3x - y - 3 = 0\].

Đáp án B

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về tổ hợp và hai quy tắc đếm cơ bản.

Cách giải

TH1: Đội tuyển gồm 1 học sinh khối 10 và 9 học sinh của 2 khối 11 và khối 12.

Số cách chọn là: \[C_5^1.C_{10}^9 = 50\] cách.

TH2: Đội tuyển gồm 2 học sinh khối 10 và 8 học sinh của 2 khối 11 và khối 12.

Số cách chọn là: \[C_5^2.C_{10}^8 = 450\] cách.

Vậy có \[450 + 50 = 500\] cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án A

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về quy tắc nhân.

Cách giải

Tập hợp các chữ số lẻ là \[M = \left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\]

Gọi số cần tìm là \[\overline {ab} \left( {a;b \in M} \right)\]

Khi đó a có 5 cách chọn và b có 5 cách chọn nên có \[5.5 = 25\] số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án A

Phương pháp

Đưa phương trình về dạng cơ bản: \[\cos f\left( x \right) = \cos g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\f\left( x \right) = - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\].

Cách giải

Ta có: \[\sin x = \cos 2x \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\].

Vì \[x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\] nên \[x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}; - \frac{\pi }{2}} \right\}\].

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án A

Phương pháp

Hàm số \[y = \cos x\] có tập giá trị \[\left[ { - 1;1} \right]\].

Cách giải

Ta có tập giá trị của hàm số \[y = \cos \left( {2019x - \frac{\pi }{4}} \right)\] là \[\left[ { - 1;1} \right]\].