Bộ 20 đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 7

Ta chứng minh \[\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)\].

Giả sử \[\vec u = \left( {{u_1};\,{u_2};\,{u_3}} \right)\] và \[\vec v = \left( {{v_1};\,{v_2};\,{v_3}} \right)\].

+) Nếu một trong hai vectơ \[\vec u\] và \[\,\vec v\] là vectơ \[\vec 0\] thì ta có \[\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)\].

+) Nếu cả hai vectơ \[\vec u\] và \[\,\vec v\] đều khác vectơ \[\vec 0\]. Khi đó ta có

\[\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)\]\[ = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( {\vec u,\,\vec v} \right)} \]\[ = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sqrt {1 - \frac{{{{\left( {\vec u.\,\vec v} \right)}^2}}}{{{{\left| {\vec u} \right|}^2}.{{\left| {\vec v} \right|}^2}}}} \]\[ = \sqrt {{{\vec u}^2}.{{\vec v}^2} - {{\left( {\vec u.\,\vec v} \right)}^2}} \]\[ = \sqrt {{{\left( {{u_2}{v_3} - {v_2}{u_3}} \right)}^2} + {{\left( {{u_3}{v_1} - {v_3}{u_1}} \right)}^2} + {{\left( {{u_1}{v_2} - {v_1}{u_2}} \right)}^2}} \]\[ = \left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right|\].

Ta có \[\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec v} \right|.\sin \left( {\vec u,\,\vec v} \right)\] nên khẳng định C sai.

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v \)\( = x.1 + 2\left( { - 1} \right) + 1.2x\)\( = 3x - 2\).

Tọa độ điểm \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) qua gốc tọa độ \(O\) là \(M'\left( { - 1; - 2; - 3} \right)\).

Phương án nhiễu A: Học sinh nhầm:

Điểm \[M'\] là điểm đối xứng của điểm \[M(3;2;1)\] qua mặt phẳng \[(Oyz)\]\( \Rightarrow M'\left( { - 1;2;3} \right)\).

Phương án nhiễu B: Học sinh nhầm:

Điểm \[M'\] là điểm đối xứng của điểm \[M(3;2;1)\] qua trục \[Oz\]\( \Rightarrow M'\left( { - 1; - 2;3} \right)\).

Phương án nhiễu D: Học sinh nhầm:

Điểm \[M'\] là điểm đối xứng của điểm \[M(3;2;1)\] qua mặt phẳng \[(Oxy)\]\( \Rightarrow M'\left( {1;2; - 3} \right)\).

Ta có

\[y = \frac{{x + 1}}{{2 - x}} = \frac{{x + 1}}{{ - x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{3}{{{{\left( { - x + 2} \right)}^2}}} > 0,{\rm{ }}\forall x \ne 2.\]

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\] và \[\left( {2; + \infty } \right)\].

Bảng biến thiên trên là của hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định và có đồ thị nhận các đường thẳng \[x = 1\], \[y = 2\]lần lượt là TCĐ và TCN. Chỉ có đáp án \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{1 - x}}\)thỏa mãn.

Nhìn vào đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = a\) và tiệm cận đứng \(x = 1\).Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = \frac{b}{a} > 1\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{ - 1}} = 1\\\frac{b}{a} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow b < a =  - 1 < 0\).