Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Đào Sơn Tây (TP.HCM) có đáp án

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Viết lại hàm số dưới dạng chuẩn: \(y = \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}}\).

Đạo hàm của hàm số: \(y' = \frac{{3 \cdot 1 - 1 \cdot \left( { - 1} \right)}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).

Vì \(y' > 0\) với mọi \(x \ne 1\) nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Tính đạo hàm của hàm số: \(y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 6x + 4 - {x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).

Xét dấu \(y'\):

\(y' > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

\(y' < 0\) khi \(x \in \left( {1;2} \right) \cup \left( {2;3} \right)\).

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Chọn D.

Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\).

Tính đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 12\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 \Leftrightarrow x = \pm 2\) (cả hai nghiệm đều thuộc đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\)).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm cực trị:

\(y\left( { - 3} \right) = {\left( { - 3} \right)^3} - 12 \cdot \left( { - 3} \right) + 6 = - 27 + 36 + 6 = 15\); \(y\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 12 \cdot \left( { - 2} \right) + 6 = - 8 + 24 + 6 = 22\);

\(y\left( 2 \right) = {2^3} - 12 \cdot 2 + 6 = 8 - 24 + 6 = - 10\); \(y\left( 3 \right) = {3^3} - 12 \cdot 3 + 6 = 27 - 36 + 6 = - 3\).

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) là \(22\) tại \(x = - 2\).

Chọn D.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Tính đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 8x - 3\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\).

Qua điểm \(x = - 3\), đạo hàm \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3\).

Giá trị cực đại của hàm số là: $y_{\text{CĐ}}=y\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3+4\cdot {\left(-3\right)}^2-3\cdot \left(-3\right)+4=-27+36+9+4=22$.

Chọn B.

Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 1\) hoặc \(x = - 2\).

Trong đó:

\(x = 0\) là nghiệm đơn (bậc 1).

\(x = 1\) là nghiệm bội chẵn (bậc 2).

\(x = - 2\) là nghiệm bội chẵn (bậc 4).

Vì đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm bội lẻ, nên \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu khi đi qua điểm \(x = 0\). Vậy hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị.

Chọn A.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 5\) nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là \(y = 0\) và \(y = 5\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(2 + 1 = 3\).

Chọn B.

Phương trình vận tốc của chuyển động là đạo hàm bậc nhất của phương trình quãng đường theo thời gian: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 9{t^2} + 8t - 1\).

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \(t = 4{\rm{s}}\) là: \(v\left( 4 \right) = 9 \cdot {4^2} + 8 \cdot 4 - 1 = 144 + 32 - 1 = 175{\rm{\;(m/s)}}\).

Chọn A.

Xét các phương án, đường tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận ngang \(y = 1\) loại trừ phương án có mẫu số hoặc hệ số không phù hợp.

Xét hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\):

Tiệm cận đứng: \(x = 1\).

Tiệm cận ngang: \(y = \frac{1}{1} = 1\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{1 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), hoàn toàn phù hợp với bảng biến thiên.

Chọn D.