Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên

Ta có y' = 3x² – 6x; y' = 0 3x² – 6x = 0 x = 0 hoặc x = 2.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ = 4 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = 0.

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \).

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 4).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Xét phương trình x³ – 3x² + 4 = 0 x = −1 hoặc x = 2.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (−1; 0) và (2; 0).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (−1; 0), (2; 0), (0; 4) và (1; 2).

Vậy đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 4 được cho ở Hình.

Quan sát đồ thị ở Hình, ta thấy đồ thị đó có tâm đối xứng là điểm I(1; 2).

Hướng dẫn giải:

1) Tập xác định: ℝ\{1}.

2) Sự biến thiên

\(y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} < 0\) với mọi x ≠ 1.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \). Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đổ thị hàm số.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2\). Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; −1).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(\left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(( - 2;1),(2;5),\left( {\frac{5}{2};4} \right)\) và (4; 3).

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) được cho ở Hình.

Quan sát đồ thị ở Hình, đồ thị đó nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x₀; y₀) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Ta có x₀ = 0 y₀ = 2.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: ℝ.

Ta có: y' = 3x² – 3 = 3(x² – 1); y' = 0 x = ± 1.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

(x – 3)(x² + 2) = 0 x = 3 nghĩa là (C) cắt trục hoành tại một điểm.

Đáp án đúng là: B

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 3x + 2} \right) = - \infty \) nên loại C và D.

Đồ thị hàm số y = x³ – 3x + 2 đi qua (−1; 4) nên chọn B.

Đáp án đúng là: A

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 1} \right) = + \infty \) suy ra loại đáp án B.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −1). Chọn A.

Đáp án đúng là: A

Ta có y' = 3x² + 6x; y' = 0 x = 0 hoặc x = −2.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−2; 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).