Bài tập Góc giữa hai vectơ trong không gian – Tích vô hướng lớp 12 (có lời giải)

Vì \(A{A^\prime }//C{C^\prime }\) và \(A{A^\prime } = C{C^\prime }\) nên \(A{A^\prime }{C^\prime }C\) là hình bình hành.

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \).

Vì AA'B'B là hình vuông nên \(\overrightarrow {{A^\prime }A}  = \overrightarrow {{B^\prime }B} \).

Do đó $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}A},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}B},\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}\right)={180}^{°}-B{B}^{\text{'}}C={180}^{°}-{45}^{°}={135}^{°}$

(Vì \(B{B^\prime }{C^\prime }C\) là hình vuông nên \({B^\prime }C\) là phân giác của \(B{B^\prime }{C^\prime }\) ).

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ $=AB\cdot AC\cdot \cos BAC=a\cdot a\cdot \cos {60}^{°}=\frac{a^2}{2}\text{. }$

Tương tự ta cūng có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Ta lại có \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} )\), suy ra:

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB} .\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{2}\]

b) Ta có: \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} } \right)\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} \]

Mà AM, BM là trung tuyến của các tam giác đều ACD, BCD nên \(\overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {MB}  \bot \overrightarrow {CD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\).

Từ các kết quả trên ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  = 0\). Suy ra $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})={90}^{°}$

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} \).

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}={45}^{°}$ (do \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình vuông nên \({A^\prime }{C^\prime }\) là̀ phân giác của góc \(\left. {{D^\prime }{A^\prime }{B^{\prime \prime }}} \right)\).

Ví \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình vuông cạnh bẳng 1 nên \({A^\prime }{C^\prime } = \sqrt 2 \).

Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=1\cdot \sqrt{2}\cdot \cos {45}^{°}=1$

Vì \({\rm{AC}}{{\rm{C}}^\prime }{A^\prime }\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {C{C^\prime }}  = \overrightarrow {A{A^\prime }} \).

Do đó $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right)=BA{A}^{\text{'}}={90}^{°}$

Do đó \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {C{C^\prime }} \). Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {C{C^\prime }}  = 0\).

b) \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{C^\prime }} } \right) = CA{C^\prime }\).

Ta có \(A{C^\prime }\) là đường chéo của hình lập phương cạnh bẳng 1 nên \(A{C^\prime } = \sqrt 3 \).

\({\rm{AC}}\) là đường chéo của hình vuông \({\rm{ABCD}}\) cạnh bằng 1 nên \(AC = \sqrt 2 \).

Xét \({\rm{DACC}}\) có $\cos CA{C}^{\text{'}}=\frac{A{C}^2+A{C}^2-C{C}^2}{2\cdot AC\cdot A{C}^{\text{'}}}=\frac{2+3-1}{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow CA{C}^{\text{'}}\approx {35}^{°}{16}^{\text{'}}$

Vậy $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right)\approx {35}^{°}{16}^{\text{'}}$