Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1\) nên đường thẳng \(y = 1\) là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3\) nên đường thẳng \(y = 3\) là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) suy ra đường thẳng \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Vậy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tất cả 3 đường tiệm cận. Chọn B.

Nhìn bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = - \infty \) nên đường thẳng \(x = 0\)là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 3 \Rightarrow y = 3\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 1 \Rightarrow y = 1\]là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận. Chọn B.

Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x - 2}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x - 2}} = - \infty .\)

Do đó tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x - 2}}\) là đường thẳng có phương trình \(x = 2\). Chọn A.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\)

Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn B.

Ta có \(y = \frac{{{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = x + 2 - \frac{1}{{x - 1}}\).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right) = 0\].

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y = x + 2\). Chọn B.

Ta có \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) = 0\].

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \(y = - x + 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - {x^2} + 3x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \).

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = 2\).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là \(\left( {2;\, - 1} \right)\). Chọn C.