Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - 4x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3$ là $S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} {\rm{d}}x$ .

Câu 2/22

Viết công thức tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $x = a$, $x = b$ $(a < b)$, có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(a \le x \le b)$ là $S(x)$.

A. $V = {\pi ^2}\int\limits_a^b | S(x)|{\mkern 1mu} {\rm{d}}x$.

B. $V = \int\limits_a^b S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x$.

C. $V = \pi \int\limits_a^b S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x$.

D. $V = \pi \int\limits_a^b {{S^2}} (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x$.

Lời giải

Công thức tính thể tích là $V = \int\limits_a^b S (x){\mkern 1mu} {\rm{d}}x$.

Câu 3/22

Công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ xung quanh trục $Ox$ là

A. $V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x$.

B. $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)\,} {\rm{d}}x$.

C. $V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)\,} {\rm{d}}x$.

D. $V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x$.

Lời giải

Thể tích khối tròn xoay cần tìm được tính theo công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)\,} {\rm{d}}x$.

Câu 4/22

Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {2^x}$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = \pi \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} $.

B. $S = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} $.

C. $S = \pi \int\limits_0^2 {{2^{2x}}{\rm{d}}x} $.

D. $S = \int\limits_0^2 {{2^{2x}}{\rm{d}}x} $.

Lời giải

$S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x}} \right|} {\rm{d}}x = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} $

Câu 5/22

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {x^3} - {x^2} + 3x - 3$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$ bằng

A. $\frac{4}{3}$.

B. $\frac{9}{2}$.

C. $\frac{{19}}{{12}}$.

D. $ - \frac{{19}}{{12}}$.

Lời giải

Diện tích hình phẳng cần tìm là $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right|{\rm{d}}x} $

Ta có ${x^3} - {x^2} + 3x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Phương trình có một nghiệm $x = 1$thuộc đoạn $\left[ {0;2} \right]$

Vậy $\begin{array}{l}S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right){\rm{d}}x} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - {x^2} + 3x - 3} \right){\rm{d}}x} } \right|\\ \end{array}$.

$ = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 3x} \right)} \right|_0^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} - \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 3x} \right)} \right|_1^2} \right| = \left| { - \frac{{19}}{{12}}} \right| + \left| {\frac{4}{3} - \left( { - \frac{{19}}{{12}}} \right)} \right| = \frac{9}{2} \cdot $

Câu 6/22

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = {x^2} - 1\], \[x = - 1,\;x = 1\] (tham khảo hình bên dưới) bằng

A. \[\frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} - 3}}{{3{\rm{e}}}}\].

B. \[\frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} - 3}}{{\rm{e}}}\] .

C. \[\frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} + 3}}{{3{\rm{e}}}}\].

D. \[\frac{{3{{\rm{e}}^2} - 4{\rm{e}} + 3}}{{3{\rm{e}}}}\].

Lời giải

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường (ảnh 2)

Xét \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\], ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{e}}^x} > 0\\ - \left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow {{\rm{e}}^x} - \left( {{x^2} - 1} \right) > 0\] \[ \Rightarrow \left| {{{\rm{e}}^x} - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right| = {{\rm{e}}^x} - {x^2} + 1\].

Diện tích hình phẳng cần tính là

\[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\rm{e}}^x} - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{{\rm{e}}^x} - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{{\rm{e}}^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} - 3}}{{3{\rm{e}}}}\].

Câu 7/22

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \cos x,\;y = x + 1,\;x = \frac{\pi }{2},\;x = \pi $ (tham khảo hình bên dưới) bằng

A. $\frac{{3{\pi ^2} - 4\pi + 8}}{8}$.

B. \[\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{2}\] .

C. $\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{6}$.

D. $\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{8}$.

Lời giải

Xét \[x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\], ta có: \[\cos x \le 1 < x + 1\] \[ \Rightarrow \cos x - \left( {x + 1} \right) < 0\] \[ \Rightarrow \left| {\cos x - \left( {x + 1} \right)} \right| = x + 1 - \cos x\].

Diện tích hình phẳng cần tính là

$S = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x - \left( {x + 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {x + 1 - \cos x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x - \sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi = \frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{8}$.

Câu 8/22

Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( { - 1 \le x \le 1} \right)$ thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích của vật thể đó là

A. $V = \sqrt 3 $.

B. $V = 3\sqrt 3 $.

C. $V = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

D. $V = \pi $.

Lời giải

Tại vị trí có hoành độ $x$ $\left( { - 1 \le x \le 1} \right)$ thì tam giác thiết diện có cạnh là $2\sqrt {1 - {x^2}} $.

Do đó tam giác thiết diện có diện tích $S\left( x \right) = {\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4}$$ = \sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right)$.

Vậy thể tích $V$ của vật thể là : $\int_{ - 1}^1 {\sqrt 3 \left( {1 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} $$ = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Câu 9/22

Cho hàm số$y = \sqrt {{x^3} - 3} $ có đồ thị hàm số được biểu diễn trong hình bên dưới. Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và hai đường thẳng $x = 2$ và $x = 3$. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng

$Cho hàm số$y = căn bậc hai {{x^3} - 3} $ có đồ thị hàm số được biểu diễn trong hình (ảnh 1)$

A. $3,56\pi $.

B. $\frac{{53}}{4}\pi $.

C. $\frac{{53}}{4}$.

D. $3,56$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/22

Cho tam giác $ABC$ với tọa độ các điểm $A\left( {0;\,0} \right)$, $B\left( {2;\,4} \right)$ và $C\left( {4;0} \right)$. Thể tích hình tròn xoay khi quay tam giác $ABC$ quanh trục $Ox$ bằng

$Cho tam giác $ABC$ với tọa độ các điểm A ( 0;0) (ảnh 1)$

A. $16\pi $.

B. $\frac{{512}}{3}\pi $.

C. $\frac{{256}}{3}\pi $.

D. $16$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/22

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1,x = 1$ bằng

A. $3\ln 3 - 2$.

B. $2 - 3\ln 3$.

C. $3\ln 3$.

D. $4\ln 3 - 3$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/22

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1,x = 1$ bằng

A. $3\ln 3 - 2$.

B. $2 - 3\ln 3$.

C. $3\ln 3$.

D. $4\ln 3 - 3$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/22

Cho hàm số $y = {{\rm{e}}^x}$ có đồ thị $\left( C \right)$.

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;\,\,x = 3$ bằng ${{\rm{e}}^3}.$

Đúng

Sai

b) Khi $k = 4$ thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;\,\,x = k$ bằng $3$.

Đúng

Sai

c) Gọi $d$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm ${x_0} = 1$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $d$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;\,\,x = 3$ bằng \[\frac{{9{\rm{e}}}}{2}\].

Đúng

Sai

d) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $D$ giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;\,\,x = 3$ quanh trục $Ox$ bằng ${{\rm{e}}^6}.$

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/22

Cho hàm số bậc hai $y = - {x^2} + 5x$ và đường thẳng $y = 2x$.

a) Toạ độ giao điểm của đường thẳng $y = 2x$ và đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 5x$ là $A\left( {0;0} \right)$và $B\left( {3;6} \right).$

Đúng

Sai

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 5x$, trục hoành là $\frac{{27}}{2}$

Đúng

Sai

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 5x,{\rm{y}} = 2x$ là $\frac{9}{2}$

Đúng

Sai

d) Gọi ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 5x;\,\,y = 2x$ và ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 5x;\,\,{\rm{y}} = 2x$và trục hoành. Tỉ số diện tích \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\] bằng $\frac{{27}}{6}$.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/22

Cho đồ thị hàm số $(C):y = \sqrt {2x} $ và đường thẳng $\left( d \right):y = 2x - 2$.

a) Diện tích hình phẳng $D$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $(C):y = \sqrt {2x} $, trục tung, trục hoành,$x = 4$ bằng $\frac{{16\sqrt 2 }}{3}$

Đúng

Sai

b) Diện tích hình phẳng $H$ giới hạn bởi đường thẳng $\left( d \right):y = 2x - 2$ và đồ thị $(C):y = \sqrt {2x} $, và trục hoành bằng $\frac{5}{3}$

Đúng

Sai

c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $d$ quanh trục $Ox$,$x = 3;\,\,x = 6$ bằng $165\pi $

Đúng

Sai

d) Cho hình $H$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $(C):y = \sqrt {2x} $, đường thẳng $\left( d \right):y = 2x - 2$ và trục hoành. Công thức tính thể tích của vật thể sinh ra khi cho hình $H$ quay quanh trục hoành là \[V = \pi \int\limits_0^2 {\left| {{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2} - {{\left( {2x - 2} \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x} \]

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 16/22

Cho đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = x - 3$.

a) Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}$, trục hoành, $x = 2$,$x = 3$ quanh trục hoành là: \[V = \int\limits_2^3 {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2}{\rm{d}}x} \]

Đúng

Sai

b) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}$ với hai trục tọa độ có diện tích nhỏ hơn 2.

Đúng

Sai

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = x - 3$ là $12 - 5\ln 5$

Đúng

Sai

d) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = x - 3$ quanh trục hoành là: \[V = \pi \int\limits_0^4 {\left| {{{\left( {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}} \right)}^2} - {{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x} \].

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 17/22

Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ $x$ $(1 \le x \le 4)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $x.$ Thể tích vật thể là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 18/22

Biết rằng $y = F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f(x).$ Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ được biểu diễn trong hình bên dưới.

$Biết rằng $y = F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số (ảnh 1)$
Biết rằng diện tích các phần hình phẳng $A$và $B$lần lượt là ${S_A} = 5,\,{S_B} = 2.$ Nếu $F( - 2) = 1$ thì $F(1)$ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 19/22

Một dụng cụ đựng nước có dạng như hình bên. Nếu cắt dụng cụ bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng $x$(cm) $(0 \le x \le 5)$ thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài là $2x$ (cm) và chiều rộng là $\sqrt {x + 3} $(cm). Dung tích của dụng cụ trên là bao nhiêu ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 20/22

Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng $x$(dm) $(0 \le x \le 4)$ thì được thiết diện là hình tròn có bán kính $\sqrt {4 - x} $(dm). Thể tích của chiếc đèn cói là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 14/22 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán