Theo lý thuyết thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các đường $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $.

Câu 2/22

Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2x$, $y = 0$,$x = 0$,$x = 2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = \int\limits_0^2 {2x} dx$.

B. \[S = \pi \int\limits_0^2 {{x^2}} dx\].

C. \[S = \pi \int\limits_0^2 {2x} dx\].

D. $S = - \int\limits_0^2 x dx$.

Lời giải

Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức $S = \int\limits_0^2 {2x} dx$.

Câu 3/22

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + 3$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,\,x = 2$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $\frac{1}{3}$.

D. $\frac{7}{3}$.

Lời giải

Ta có:$S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|{\rm{d}}x = } \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x} } \right| = \frac{2}{3}$.

Câu 4/22

Tính diện tích $S$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 2,\,x = 0,\,x = 2$ và trục hoành.

A. $S = \frac{{20}}{3}$.

B. $S = \frac{{16}}{3}$.

C. $S = \frac{{13}}{6}$.

D. $S = \frac{{13}}{3}$.

Lời giải

Ta có:

S = \int_{0}^{2} |x^{2} + 2| d x = \int_{0}^{2} (x^{2} + 2) d x = \frac{20}{3}

Câu 5/22

Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {2024^x}$, trục \[Ox\], trục \[Oy\], $x = 2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = \pi \int\limits_0^2 {{{2024}^x}{\rm{d}}x} $.

B. $S = \int\limits_0^2 {{{2024}^x}{\rm{d}}x} $.

C. $S = \pi \int\limits_0^2 {{{2024}^{2x}}{\rm{d}}x} $.

D. $S = \int\limits_0^2 {{{2024}^{2x}}{\rm{d}}x} $.

Lời giải

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {2024^x}$, trục \[Ox\], trục \[Oy\], $x = 2$là

$S = \int\limits_0^2 {{{2024}^x}{\rm{d}}x} $.

Câu 6/22

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right){\rm{d}}x} $.

B. $\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right){\rm{d}}x} $.

C. $\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right){\rm{d}}x} $.

D. $\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right){\rm{d}}x} $.

Lời giải

Từ đồ thị ta thấy $ - {x^2} + 3 \ge {x^2} - 2x - 1$, $\forall x \in \left[ { - 1\,;\,2} \right]$.

Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là

$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} $$ = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right){\rm{d}}x} $.

Câu 7/22

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x\ln x$, trục hoành và đường thẳng $x = e$ là

A. $\frac{{{e^2} - 1}}{2}$.

B. $\frac{{{e^2} + 1}}{2}$.

C. $\frac{{{e^2} + 1}}{4}$.

D. $\frac{{{e^2} - 1}}{4}$.

Lời giải

Phương trình hoành độ của đường cong $y = x\ln x$ và trục hoành là

$x\ln x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = x\ln x$, trục hoành và đường thẳng $x = e$ là $S = \int\limits_1^e {\left| {x\ln x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x} $.

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\v = \frac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\]. Suy ra $S = \frac{{{x^2}}}{2}\ln x\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_1^e {x{\rm{d}}x} = \frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{x^2}}}{4}\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right. = \frac{{{e^2} + 1}}{4}$.

Câu 8/22

Diện tích phần tô đậm của hình vẽ dưới đây là

A. \[\frac{3}{4}\].

B.\[1\].

C. \[\frac{\pi }{2}\].

D.\[\frac{4}{3}\].

Lời giải

Diện tích phần tô đậm của hình vẽ là \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^2} - 1} \right|} \,{\rm{dx = }}\frac{4}{3}\].

Câu 9/22

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = - {x^2} + 1$, $y = 0$, $x = - 2$, $x = 3$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $V = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {\left( { - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} $.

B. $V = \int\limits_{ - 2}^3 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x} $.

C. $V = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {\left( { - {x^2} + 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} $.

D. $V = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x} $.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/22

Cho khối tròn xoay như hình vẽ

Thể tích của khối tròn xoay đó là

A. $\pi $.

B. $\frac{{3\pi }}{4}$.

C. $2\pi $.

D. $\frac{\pi }{2}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/22

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \cos \frac{x}{2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;x = \pi $. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục $Ox$là

A. $\frac{{{\pi ^2}}}{2}$.

B. ${\pi ^2} - \pi $.

C. ${\pi ^2} - 1$.

D. $2\pi $.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/22

Cho hình phẳng $\left( S \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {2 - {x^3}} $, trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1$ và $x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay khi quay $\left( S \right)$ quanh $Ox$là

A. $\frac{{58}}{7}\pi $.

B. $4\pi $.

C. $\frac{{20}}{7}\pi $.

D. $\frac{{27}}{6}\pi $.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/22

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên \[\left[ {a;b} \right].\] Diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi đường cong $y = f\left( x \right),$ trục hoành và các đường $x = a,$ $x = b$ $\left( {a < b} \right)$ được xác định bởi công thức $S = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Đúng

Sai

b) Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {2^x},$ $y = 0$ và các đường $x = 0,$ $x = 2.$ Khi đó ta có$S = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} .$

Đúng

Sai

c) Diện tích hình phẳng \[S\] giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x,\] \[y = 2x\] và các đường \[x = - 1,\] \[x = 1\] được xác định bởi công thức \[S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right){\rm{d}}x} } .\]

Đúng

Sai

d) Biết rằng đường parabol \[\left( P \right):{y^2} = 2x\] chia đường tròn \[\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 8\] thành hai phần lần lượt có diện tích là \[{S_1},\] \[{S_2}\] (hình bên). Khi đó \[{S_2} - {S_1} = a\pi - \frac{b}{c}\] với \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] nguyên dương và \[\frac{b}{c}\] là phân số tối giản. Tổng \[a + b + c\] bằng \[15.\]

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/22

Cho đường \[y = {x^2}\] có đồ thị là \[\left( P \right)\], \[y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\] có đồ thị là $\left( d \right)$và trục hoành.

Gọi ${S_1}$ là diện tích giới hạn bởi $\left( P \right)$,trục hoành và đường thẳng $x = 1$

Gọi ${S_2}$ là diện tích giới hạn bởi $\left( d \right)$,trục tung, trục hoành và đường thẳng $x = 4$

Gọi $S$ là diện tích giới hạn bởi $\left( P \right)$, $\left( d \right)$ và trục hoành.

$Cho đường \[y = {x^2}\] có đồ thị là (P), y = -1/3 x +4/ 3 có đồ thị là (d) (ảnh 1)$
Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) ${S_1} = \frac{1}{3}$

Đúng

Sai

b) ${S_2} = \frac{3}{2}$

Đúng

Sai

c) $S = {S_1} + {S_2}$

Đúng

Sai

d) \[S = \frac{{11}}{6}\]

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/22

Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = \sqrt x ,y = 2{e^x}$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 4.$

a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x $, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 4$ là $S = \pi \int\limits_0^4 {xdx.} $

Đúng

Sai

b) Gọi \[V\] là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2{e^x}$, trục hoành và hai đường thẳng$x = 0,x = 4$ khi quay quanh trục $Ox.$ Khi đó, $V = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)$

Đúng

Sai

c) Diện tích của hình H là ${S_H} = 2{e^4} - \frac{{16}}{3}$.

Đúng

Sai

d) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục Ox là $2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)$

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 16/22

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt x $, trục hoành $Ox$và hai đường thẳng $x = 0,\,x = 4$. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Gọi ${V_1}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $MOH$quanh trục $Ox$. Biết rằng $V = 2{V_1}$. Khi đó $a = 3$.

a) Công thức tính diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là $\int_0^4 {\sqrt x dx} $.

Đúng

Sai

b) Diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là $\frac{{19}}{6}$.

Đúng

Sai

c) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x $, $x = 0,\,x = 4$ và trục hoành $Ox$ là $8\pi $.

Đúng

Sai

d) Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x $, $x = 0,\,x = 4$ và trục $Ox$. Đường thẳng $x = a\left( {0 < a < 4} \right)$ cắt đồ thị hàm số $y = \sqrt x $tại $M$.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 17/22

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( P \right):y = {x^2} - 1$ và hai tiếp tuyến của $\left( P \right)$tại $A\left( { - 1;0} \right)$ và $B\left( {2;3} \right)$. ( làm tròn đến hàng phần trăm)

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 18/22

Gọi $S$ là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol $y = {x^2} + 2x - 3$ và đường thẳng $y = kx + 1$ với $k$ là tham số thực. Tìm $k$ để $S$ nhỏ nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 19/22

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}$ và $y = \left\{ \begin{array}{l} - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \le 1\\x - 2\,\,\,\,\,khi\,\,x > 1\,\,\end{array} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 20/22

Cho hình phẳng \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = \left| {{x^2} - 1} \right|\] và \[y = k\], với \[0 < k < 1\]. Tìm \[k\] để diện tích hình phẳng \[\left( H \right)\] gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên. Khi đó \[k = \sqrt[m]{n} - p\] thì giá trị của \[m + n + p\] bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 14/22 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán