21 bài tập Viết phương trình mặt phẳng (có lời giải)

Cho hai mặt phẳng \((P),(Q)\) có phương trình tổng quát là

$\left(P\right):3x-5y+7z+5=0\left(m\right) và \left(Q\right):x+y-2=0\left(m\right)$

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \((P),(Q)\).

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng \((P)\) trong số các điểm: \(A(1;3;1),B(1;2;3)\).

Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;2;1)\).

Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(N(4;0;1)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;2;1),\vec b = (2;1;3)\).

Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm \(A(1;1;1),B(1;2;2),C(4;1;0)\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\) với a, b, c đều khác 0 . Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua ba điểm A, B, C.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 8\((\alpha ):x + 2y - z + 1 = 0\).

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\).

b) Vectơ \(\vec m = (2;4; - 2)\) có là vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\) hay không?

c) Trong hai điểm \(A(1;3;2),B(1;1;4)\), điểm nào thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) ?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \(2x + 3y - z + 2 = 0\).

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của \((\alpha )\).

b) Trong hai điểm \(A(1;3;2)\) và \(B(4; - 1;7)\), điểm nào thuộc \((\alpha )\) ?

Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm \(A(2;0;0)\) và nhận \(\vec n = (2;1; - 1)\) làm vectơ pháp tuyến;

b) Đi qua điểm \(B(1;2;3)\) và song song với giá cùa mỗi vectơ \(\vec u = (1;2;3)\) và \(\vec v = ( - 2;0;1)\);

c) Đi qua ba điểm \(A(1;0;0),B(0;2;0)\) và \(C(0;0;4)\).

Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(I(1;2;7)\) và nhận \(\vec n = (3;2;1)\) làm vectơ pháp tuyến.

Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm \(A(1;0;2),B(1;1;1)\) và \(C(0;1;2)\).

Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \((P)\) đi qua điểm \(I( - 2;3;0)\) và nhận \(\vec n = (4; - 1;5)\) làm vectơ pháp tuyến

b) \((P)\) đi qua ba điểm \(A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;1)\).

Cho tứ diện ABCD có các đỉnh \(A(4;0;2),B(0;5;1),C(4; - 1;3),D(3; - 1;5)\).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ABC)\) và \((ABD)\).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD.

Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \((P)\) đi qua điểm \(I(2;1; - 4)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3; - 4;5)\);

b) \((P)\) đi qua điểm \(I(5; - 2;1)\) và có cặp vectơ chỉ phương là \(\vec a = (3; - 1;4)\), \(\vec b = (0;2; - 1)\);

c) \((P)\) đi qua ba điểm \(A(0;3;7),B(2; - 5;4)\) và \(C(1; - 4; - 1)\).

Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(5;0;0),B(0;7;0),C(0;0;9)\).

Cho ba điểm \(A(3; - 4;2),B(1;2;3),C(0;1;5)\). Lập phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng BC.

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(A(1;2;3),B(4;3;5)\), \(C(2;3;2),{A^\prime }(1;1;1)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }C} \right)\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(2;1; - 1),B(3;2;1),C(3;1;4)\).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \({\rm{M}}(1;2; - 1)\) và vuông góc với trục OX .

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\), với \(A(1; - 1;3),B(0;2;4),D(2; - 1;1),{A^\prime }(0;1;2)\).

a) Tìm tọa độ các điểm \(C,{B^\prime },{D^\prime }\).

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm \(t\), vật thể ở vị trí \(M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)\). Hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

a) Xác định toạ độ của vị trí \({M_1},{M_2},{M_3}\) của vật tương ứng với các thời điểm \(t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi \).

b) Chứng minh rằng \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\).

c) Vị trí \(M(\cos t - \sin t;\cos t + \sin t;\cos t)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?