Bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)

30 người thi tuần này 4.6 1.7 K lượt thi 43 câu hỏi

Bài giảng / Lý thuyết:

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng

Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế

🔥 Học sinh cũng đã học

578 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Lê Trọng Tấn (TP.HCM) có đáp án

5.4 K lượt thi 22 câu hỏi

194 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Thủ Đức (TP.HCM) có đáp án

5 K lượt thi 22 câu hỏi

138 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

110 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Mạc Đĩnh Chi (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 21 câu hỏi

80 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

91 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Bùi Thị Xuân (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

112 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Marie Curie (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

111 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/43

Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1;3),\overrightarrow {{a^\prime }} = (3;2; - 8)$

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ $\vec b = ( - 2; - 1; - 3)$ có phải là một vectơ chỉ phương của d không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $\cos \left( {{\rm{d}},{{\rm{d}}^\prime }} \right) = $ $\left| {\cos \left( {\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\overrightarrow {{a^\prime }} } \right)} \right|$.

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Xem đáp án

Lời giải

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu ( d , d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) $\vec b = ( - 2; - 1; - 3) = - \vec a$. Do đó $\vec b$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

c) vi $\vec a,\overrightarrow {{a^\prime }} $ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

$+) (d, d^{'}) = (\vec{a}, \vec{a^{'}}) nếu 0^{°} \leq (\vec{a}, \vec{a^{'}}) \leq 90^{°}$

$+) (d, d^{'}) = 180^{°} - (\vec{a}, \vec{a^{'}}) nếu 90^{°} < (\vec{a}, \vec{a^{'}}) \leq 180^{°} .$ Do đó $Do dó \cos (d, d^{'}) = |\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = |\cos (\vec{b}, \vec{a^{'}})|$

\cos (d, d^{'}) = |\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{a^{'}}|}{| \vec{a} | |\vec{a^{'}}|} = \frac{| 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot (- 8) |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{3^{2} + 2^{2} + {(- 8)}^{2}}} = \frac{16}{7 \sqrt{22}}

Câu 2/43

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$;

b) d: $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{2}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2{t^\prime }}\\{y = 3 + 4{t^\prime }}\\{z = 10{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

a) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;1)$ và ${\vec a^\prime } = (1;1;2)$.

Ta có

\cos (d, d^{'}) = \frac{| 1.1 + 2.1 + 1.2 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{6}

. Suy ra

(d, d^{'}) \approx 33^{°} 33^{'}

b) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2;2)$ và ${\vec a^\prime } = ( - 2; - 2;1)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$. Suy ra

(d, d^{'}) \approx 63^{°} 36^{'}

c) $d$ và ${d^\prime }$ có vectơ chi phương lần lượt là $\vec a = (1;2; - 1)$ và ${\vec a^\prime } = (2;4;10)$.

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot 10|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{10}^2}} }} = 0$. Suy ra

(d, d^{'}) = 90^{°}

Câu 3/43

Tính góc giữa hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$ trong mỗi truoờng hợp sau:

a) d: $\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}$ và ${d^\prime }:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}$;

b) $d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 9 - 10t}\\{y = 7 - 10t}\\{z = 15 + 5t}\end{array}} \right.$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 23 + 2t}\\{y = 57 + t}\\{z = 19 - 5t}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 24 + {t^\prime }}\\{y = 6 + {t^\prime }}\\{z = {t^\prime }}\end{array}} \right.$

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;5;4),\overrightarrow {{a^\prime }} = (2;5; - 4)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot 2 + 5.5 + 4 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {5^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{15}}{{15\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}$. Suy ra

(d, d^{'}) \approx {71,57}^{°}

b) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (3;6;6),\overrightarrow {{a^\prime }} = ( - 10; - 10;5)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|3 \cdot ( - 10) + 6 \cdot ( - 10) + 6 \cdot 5|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{{( - 10)}^2} + {{( - 10)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{60}}{{135}} = \frac{4}{9}$. Suy ra

(d, d^{'}) \approx {63,61}^{°}

c) Đường thẳng d và ${{\rm{d}}^\prime }$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec a = (2;1; - 5),\overrightarrow {{a^\prime }} = (1;1;1)$

Ta có $\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + ( - 5) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt {10} }}$. Suy ra

(d, d^{'}) \approx {77,83}^{°}

Câu 4/43

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}$ và $(P):x + z + 24 = 0$;

b) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.$ và $(P):2x + 4y - 2z + 23 = 0$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = (2;2;1)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (1;0;1)$.

Ta có $\sin (d,(P)) = \frac{{|2.1 + 2.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Suy ra

(d, (P)) = 45^{°}

b) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec a = (1;2; - 1)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (2;4; - 2)$.

Ta có $\sin (d,(P)) = \frac{{|1.2 + 2.4 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1$. Suy ra

(d, (P)) = 90^{°}

Câu 5/43

Tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11 + 3t}\\{y = - 11 + t}\\{z = - 21 - 2t}\end{array}} \right.$ và $(P):6x + 2y - 4z + 7 = 0$;

b) $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}$ và $(P):2x + 2y - 4z + 1 = 0$;

c) d: $\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}$ và $(P):2y - 4z + 7 = 0$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (3;1; - 2)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (6;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|3 \cdot 6 + 1 \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1$. Suy ra

(d, (P)) = 90^{°}

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (2;4;2)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|2 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}$. Suy ra

(d, (P)) \approx {9,59}^{°}

c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec a = (4;4;2)$

Mặt phẳng $({\rm{P}})$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0;2; - 4)$

Khi đó $\sin (d,(P)) = \frac{{|4 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 4)|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 0$. Suy ra

(d, (P)) = 0^{°}

Câu 6/43

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

b) $(P):x + y + 24 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):y + z + 24 = 0$;

c) $(P):2x + 4y - z + 23 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x + 5y + 26z + 2025 = 0$.

Xem đáp án

Lời giải

a) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (1;1; - 2),{\vec n^\prime } = (3; - 5;1)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.3 + 1 \cdot ( - 5) + ( - 2) \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 5)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}$. Suy ra $((P), (P^{'})) \approx 73^{°} 59^{'}$ .

b) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (1;1;0),{\vec n^\prime } = (0;1;1)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.0 + 1 \cdot 1 + 0.1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$. Suy ra $((P), (P^{'})) = 60^{°}$ .

c) $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec n = (2;4; - 1),{\vec n^\prime } = (3;5;26)$.

Ta có $\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.3 + 4 \cdot 5 + ( - 1) \cdot 26|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {5^2} + {{26}^2}} }} = 0$. Suy ra

((P), (P^{'})) = 90^{°}

Câu 7/43

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA \bot (ABCD)$. Cho biết $A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0),S(0;0;2)$.

Tính góc giũa:

a) hai đường thằng SC và BD.

b) mặt phẳng (SBD) và mặt đáy;

c) đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Xem đáp án

Lời giải

Trong không gian Oxyz, ta có $C(2;3;0),\overrightarrow {SC} = (2;3; - 2)$; $\overline {BD} = ( - 2;3;0)$.

a) Hai đường thằng SC và BD có vectơ chi phương lần lượt là $\vec u = (2;3; - 2),\vec v = ( - 2;3;0)$.

Ta có $\cos (SC,BD) = \frac{{|\vec u \cdot \vec v|}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{|2 \cdot ( - 2) + 3 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {3^2} + {0^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {221} }}$.

Suy ra $(S C, B D) \approx 70^{°} 21^{'}$ .

b) Ta có phương trình mặt phẳng $(SBD)$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$ hay $3x + 2y + 3z - 6 = 0$.

Mặt phẳng $(SBD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = (3;2;3)$, mặt đáy $(ABCD)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k = (0;0;1)$. Gọi $\alpha $ là góc giũua mặt phẳng $(SBD)$ và mặt đáy.

Ta có $\cos \alpha = \frac{{|\vec n \cdot \vec k|}}{{|\vec n| \cdot |\vec k|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {22} }}$. Suy ra $((S B D), (A B C D)) \approx 50^{°} 14^{'}$ .

c) Gọi $\beta $ là góc giũa đường thẳng SC và mặt phẳng $(SBD)$.

Ta có $\sin \beta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {374} }}$. Suy ra $(S C, (S B D)) \approx 18^{°} 4^{'}$ .

Câu 8/43

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $\left( {{P^\prime }} \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P):3x + 7y - z + 4 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):x + y - 10z + 2025 = 0$;

b) $(P):x + y - 2z + 9 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0$;

c) $(P):x + z + 3 = 0$ và $\left( {{P^\prime }} \right):3y + 3z + 5 = 0$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec n = (3;7; - 1),\overrightarrow {{n^\prime }} = (1;1; - 10) \Rightarrow \cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|3 \cdot 1 + 7 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 10)|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 10)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {59} \cdot \sqrt {102} }}$

Suy ra ((P), (P')) $\approx {75,06}^{°}$ .

b) Mặt phằng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec n = (1; - 2;1),\overrightarrow {{n^\prime }} = (3;1; - 5) \Rightarrow \cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1 \cdot 3 + ( - 2) \cdot 1 + 1 \cdot ( - 5)|}}{{\sqrt {1 + {{( - 2)}^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {1^2} + {{( - 5)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {210} }}$

Suy ra ((P), (P')) $\approx {73,98}^{°}$ .

c) Mặt phẳng $({\rm{P}})$ và $\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là

$\vec n = (1;0;1),\overrightarrow {{n^\prime }} = (0;3;3) \Rightarrow \cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|1.0 + 0.3 + 1.3|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {36} }} = \frac{1}{2}$. Suy ra $((P), (P^{'})) = 60^{°}$ .