Bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = (2;1; - 1),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;3;9)\)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (0;1;1)\)

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;0;1)\)

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (4;0;11)\)

Mặt phẳng \(({\rm{Q}})\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = (0;0;1)\)

a) Mặt phảng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;0;2)\)

Mặt phắng \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = (1;0;1)\)

\(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|2.1 + 0.0 + 2.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{4} = 1\). Suy ra ((P),(P’)) $=0^{°}$.

b) Mặt phẳng \((Q)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}}  = (0;0;1)\)

\(\cos ((P),(Q)) = \frac{{|2.0 + 0.0 + 2.1|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{. }}\) Suy ra ((P), (Q)) $={45}^{°}$.

\(\cos \left( {\left( {{P^\prime }} \right),(Q)} \right) = \frac{{|1.0 + 0.0 + 1.1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{. }}\)Suy ra $\left(\left(P^{\text{'}}\right),\left(Q\right)\right)={45}^{°}$.

Mặt phắng ( \({{\rm{O}}^\prime }{\rm{BC}}\) ) có phương trình đoạn chắn là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 6{\rm{y}} + 3{\rm{z}} = 6\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;6;3)\)

\(\cos \left( {\left( {{O^\prime }BC} \right),(OBC)} \right) = \frac{{|3|}}{{\sqrt 1  \cdot \sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{7}\).  Suy ra $\left(\left(O^{\text{'}}BC\right),\left(OBC\right)\right)\approx {\mathrm{64,62}}^{°}$.

c) Đường thằng \({B^\prime }C\) nhận \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 3;1; - 2)\) làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng ( O ' BC ) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;6;3)\)

\(\sin \left( {{B^\prime }C,\left( {{O^\prime }BC} \right)} \right) = \frac{{|( - 3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 + ( - 2) \cdot 3|}}{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{7\sqrt {14} }}\). Suy ra $\left(B^{\text{'}}{C}_{,}\left(O^{\text{'}}BC\right)\right)\approx {\mathrm{13,24}}^{°}$.

a) Do điểm \(C(0;0;5)\) nên \(AC = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(2 - 5)}^2}}  = \sqrt {34} (\;{\rm{m}})\);

\(BC = \sqrt {{{( - 5 - 0)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{(1 - 5)}^2}}  = \sqrt {45}  = 3\sqrt 5 (\;{\rm{m}}){\rm{. }}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = (3; - 4;2),\overrightarrow {OB}  = ( - 5; - 2;1)\) nên \([\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 13; - 26){\rm{. }}\)

Vì thế, vectơ \(\vec n = (0;1;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\).

Mặt khác, do \(\overrightarrow {CA}  = (3; - 4; - 3),\overrightarrow {BC}  = (5;2;4)\) nên ta có:

- \(\sin (CA,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {CA} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {CA}  \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {CA} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + ( - 4) \cdot 1 + ( - 3) \cdot 2|}}{{\sqrt {34}  \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{10}}{{\sqrt {170} }}\),

suy ra $(CA,(OAB\left)\right)\approx {50}^{°}$. Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng ${50}^{°}$.

\({\rm{  -  }}\sin (BC,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {BC} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {BC}  \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {BC} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|5 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2|}}{{3\sqrt 5  \cdot \sqrt 5 }} = \frac{2}{3}{\rm{, }}\)

suy ra $(BC,(OAB\left)\right)\approx {42}^{°}$. Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng ${42}^{°}$.

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).

b) Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) nên độ dài AM bằng \(4,5t(\;{\rm{m}})\). Vì vậy \(|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)\).

Do hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\vec u\) là cùng phương và cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM}  = k\vec u\) với \(k\) là số thực dương nào đó. Suy ra: \(|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1}  = 3k\). Do đó \(3k = 4,5t\). Suy ra \(k = \frac{{3t}}{2}\). Vì thế, ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

Gọi toạ độ của điểm \(M\) là \(\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AM}  = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} =  - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} =  - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy điểm \(M\) có toạ độ là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).

c) Do \({x_B} = 550\) nên \(3t + 10 = 550\), tức là \(t = 180\) (s). Do đó, ta có điểm \(B(550; - 537;270)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}}  = \sqrt {656100}  = 810(\;{\rm{m}})\).