Bài tập Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi và dự đoán công thức tổng quát của dãy số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Ta có: $u_1=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};u_2=\frac{1}{3}=\frac{1}{2+1};u_3=\frac{1}{4}=\frac{1}{3+1};u_4=\frac{1}{5}=\frac{1}{4+1}.$

Vậy $u_n=\frac{1}{n+1};n\le 4$  .

Đáp án đúng là: C

Ta nhận thấy các số hạng của dãy u_n có cùng quy luật:

u₁ = 1 = 1²; u₂ = 4 = 2²; u₃ = 9 = 3²; u₄ = 16 = 4²; u₅ = 25 = 5².

Nên ta tìm được số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = n²; n £ 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u₁ = 2; u₂ = u₁ + 3 = 2 + 3 = 5; u₃ = u₂ + 3 = 5 + 3 = 8.

Do đó, số hạng thứ 3 của dãy số là u₃ = 8.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u₁ = 1; u₂ = 2u₁ + 1 = 2.1 + 1 = 3;

u₃ = 2u₂ + 1 = 2.3 + 1= 7; u₄ = 2u₃ + 1 = 2.7 + 1= 15.

Vậy u₄ = 15.

Đáp án đúng là: D

Ta tính được u₂ =    $\frac{1}{1+1}\cdot \left(0+1\right)=\frac{1}{2}$    

Ta có:

u_{n + 1}.(n + 1) = (u_n + 1).n = n + u_n­.n;

u_n.n = (u_{n – 1} + 1).(n – 1);

…

u₂.2 = (u₁ + 1).1 = 1 + u_1­.1

Þ u_{n + 1}.(n + 1) = n + (u _{n – 1} + 1).(n – 1) = n + (n – 1) + u _{n – 1}.(n – 1);

     u_n-1.(n – 1) = (n – 2) + (n – 3) + u_{n – 3}.(n – 3);

     …

     u₄.4 = 3 + 2 + u₂.2 = 3 + 2 + 1;

     u₃.3 = 2 + 1 + u₁.1 = 2 + 1;

+) Nếu n + 1 chia hết cho 2 thì

u_{n + 1}.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = $\frac{n.\left(n+1\right)}{2}$ .

Suy ra  $u_{n+1}=\frac{n}{2}$.

+) Nếu n + 1 không chia hết cho 2 thì:

u_{n + 1}.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1 =$\frac{n.\left(n+1\right)}{2}$ .

Suy ra $u_{n+1}=\frac{n}{2}$  .

Suy ra công thức tổng quát $u_{n+1}=\frac{n}{2}$   đúng với cả 2 trường hợp.

Vậy số hạng thứ 11 của dãy là: $u_{11}=\frac{10}{2}=5$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có:

u_{n + 1} = u_n + 2n;

u_n = u_{n – 1} + 2(n – 1);

u_{n – 1} = u_{n – 2} + 2(n – 2);

…

u₂ = u₁ + 2.1;

Khi đó u_{n + 1} + u_n + u _{n – 1} + … + u₂

= u_n + u _{n – 1} + … + u₂ + u₁ + 2(n + (n – 1) + (n – 2) + … + 1)

Do đó $u_{n+1}=u_1+n\left(n+1\right)=\frac{1}{2}+n\left(n+1\right).$

Hay dãy s ố có số hạng tổng quát là:  $u_n=\frac{1}{2}+n\left(n-1\right).$

Với n = 4 thì  $u_n=\frac{25}{2}$ .

Vậy đáp án đúng là B.