31 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 3. Công thức tính góc trong không gian có đáp án

Chọn A

Áp dụng công thức ở lý thuyết.

Chọn D

Gọi \(\overrightarrow {{u_1}} ;\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.

\(\overrightarrow {{u_1}} \, = \,(1;\,\,1;\,\,0);\,\,\overrightarrow {{u_2}} \,\, = \,\,( - \,1;\,\,0;\,\,1)\)

Áp dụng công thức ta có \(cos\left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\,\, = \,\,\frac{{\left| { - \,1} \right|}}{{\sqrt {1\,\, + \,\,1} .\sqrt {1\,\, + \,\,1} }}\,\, = \,\,\frac{1}{2}\).

$\Rightarrow \left(d_1,d_2\right)=60°$

Chọn C

Gọi \(\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow n \) lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P). \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\, - 2;\,\,1} \right);\,\,\overrightarrow n \,\, = \,\,\left( {5;\,\,11;\,\,2} \right)\)

Áp dụng công thức ta có \[\sin \left( {\Delta ,(P)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.5 - 11.2 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{11}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}.\]

$\Rightarrow \left(\Delta ,\left(P\right)\right)=30°.$

Chọn A

Đường thẳng \(d\)có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;0} \right)\)

Gọi \(\alpha \)là góc giữa Đường thẳng \(d\)và Mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó ta có

\(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Chọn A

Mặt phẳng \[(P)\] có VTPT \[\overrightarrow n  = ( - \sqrt 3 ;1;0)\]

Trục \[Ox\]có VTCP \[\overrightarrow i  = (1;0;0)\]

Góc tạo bởi \[(P)\] với trục \[Ox\]

\[{\rm{sin((P);}}Ox{\rm{)}} = \left| {{\rm{cos((P);}}Ox{\rm{)}}} \right|{\rm{ = }}\frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 3 .1 + 1.0 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {3 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Chọn A

Đường thẳng d có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x\,\, = \,\,2t\\y\,\, = \,\,\frac{1}{2}\,\, + \,\,t\\z\,\, = \,\, - \frac{3}{2}\,\, + \,\,t\end{array} \right.,\,\,t\,\, \in \,\,R\). Suy ra VTCP của d là \(\overrightarrow {{u_d}} (2;\,\,1;\,\,1)\)

Ta có \[\sin \left( {d,(P)} \right) = \,\,\left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\,\, = \,\,\frac{{\left| {2.3\,\, + \,\,1.4\,\, + \,\,1.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2}\,\, + \,\,{1^2}\,\, + \,\,{1^2}} .\sqrt {{3^2}\,\, + \,\,{4^2}\,\, + \,\,{5^2}} }}\,\, = \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

$\Rightarrow (d,(P\left)\right)=60°$

Chọn A

Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), \(\,\overrightarrow {{n_\beta }} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} (2;\,\, - \,\,1;\,\,2);\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} (1;\,\,2;\,\, - \,2)\).

Áp dụng công thức:

\(cos((\alpha ),\,(\beta ))\,\, = \,\,\left| {cos(\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} )} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\frac{{\left| {2.1 - 1.2 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + \,\,{{( - 1)}^2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {({1^2}\,\, + \,\,{2^2}\,\, + \,\,{{( - 2)}^2}} }}\,\, = \,\,\frac{4}{9}.\)

Chọn B

Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_Q}\right|}=\cos 60°=\frac{1}{2}$