Bài tập Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

B. x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a² + b² + c² – d > 0).

C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + 2b - d = 2\\6a + 2b + 4c - d = 14\\ - 2a + 2b + 4c - d = 6\\2a - 2b + 4c - d = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 2\\d = 2\end{array} \right.\).

Vậy (x − 1)² + (y − 1)² + (z − 2)² = 4.

Đáp án đúng là: A

D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

A. x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a² + b² + c² – d > 0).

B. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\4a - 2b - 6c + d = - 14\\ - 2a + 2b + d = - 2\\ - 4a - 2c + d = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{14}}\\b = - \frac{{15}}{{14}}\\c = \frac{{37}}{{14}}\\d = 0\end{array} \right.\).

Vậy phương trình mặt cầu cần lập: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{7}x + \frac{{15}}{7}y - \frac{{37}}{7}z = 0\).

Đáp án đúng là: B

C. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

D. x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a² + b² + c² – d > 0).

A. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 8c + d = - 16\\d = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\\d = 0\end{array} \right.\).

Bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 3\).

Do đó (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 2)² = 9.

Đáp án đúng là: C

B. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

C. x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a² + b² + c² – d > 0).

D. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 12a + 4b - 6c + d = - 49\\ - 2b - 12c + d = - 37\\ - 4a + 2c + d = - 5\\ - 8a - 2b + d = - 17\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = 3\\d = - 3\end{array} \right.\).

Vậy phương trình mặt cầu: x² + y² + z² − 4x + 2y − 6z – 3 = 0.

Đáp án đúng là: C

A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

B. x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a² + b² + c² – d > 0).

C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 1\\ - 2b + d = - 1\\ - 2c + d = 1\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = 0\end{array} \right.\).

Bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy phương trình mặt cầu: \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).

Đáp án đúng là: A

D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

A. x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a² + b² + c² – d > 0).

B. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 1\\ - 2b + d = - 1\\2c + d = - 1\\ - 4a + 2b - 2c + d = - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{2}\\b = - \frac{5}{2}\\c = \frac{5}{2}\\d = - 6\end{array} \right.\).

Vậy mặt cầu (S): x² + y² + z² + 5x + 5y − 5z – 6 = 0.

Đáp án đúng là: C

C. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

D. x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a² + b² + c² – d > 0).

A. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b + d = - 2\\ - 4b - 2c + d = - 5\\ - 2a - 4c + d = - 5\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{2}\\b = - \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = - 6\end{array} \right.\).

Do đó mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và \(R = \frac{{\sqrt {35} }}{2}\).

Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là x² + y² + z² + 3x + y − z – 6 = 0.

Đáp án đúng là: B

B. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

C. x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a² + b² + c² – d > 0).

D. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 12c + d = - 36\\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = 0\end{array} \right.\).

Do đó (S): x² + y² + z² − 2x − 4y − 6z = 0.