Bài tập Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Trong không gian Oxyz (đơn vị đo là cm), mặt sàn nhà đa năng thuộc mặt phẳng Oxy. Một quả cầu bằng nhựa nằm trên mặt sàn nhà đa năng và có tâm I(12; 20; 50). Khi đó, mặt ngoài của quả cầu nhựa (S) có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là km), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I(1; 5; 5) như hình vẽ. Ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 5 km.

Một người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(1; 5; 5) đến vị trí A(7; 14; 11). Điểm nào sau đây mà người đi biển đi qua và vẫn thuộc vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.

Một máy Rađa có tầm hoạt động với bán kính tối đa là 20 km. Ta xét trong không gian Oxyz với tâm O là vị trí máy Rađa, 1 đơn vị dài trong không gian tương ứng với 10 km trên thực tế. Hỏi trong không gian Oxyz trên, vật thể có tọa độ tương ứng với đáp án nào dưới đây sẽ bị Rađa phát hiện?

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục tọa độ là km), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điểm I(−6; −1; 4). Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 2 km. Người sử dụng điện thoại đứng ở điểm nào sau đây thì sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên?

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, bề mặt của một quả bóng thám không dạng hình cầu có phương trình x² + y² + z² – 200x – 600y – 4000z + 4099900 = 0. Tìm tâm và bán kính mặt cầu.

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là km) một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Viettel được đặt ở vị trí I(−1; 2; 3) và được thiết kế bán kính phủ sóng là 5000 m. Phương trình mặt cầu biểu diễn ranh giới cùng phủ sóng là:

Trong không gian Oxyz, đặt 4 thiết bị thu tín hiệu tại 4 điểm có tọa độ lần lượt là A(−2; 3; 5), B(0; 2; 8), C(1; −3; 7), D(4; 1; 0). Đặt thiết bị phát tín hiệu tại điểm nào sau đây để 4 thiết bị thu tín hiệu cùng một thời điểm?

Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí I(1; 0; −1). Vùng phủ sóng của thiết bị có ranh giới là một mặt cầu bán kính bằng \(\sqrt 2 \). Điểm nào sau đây thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

Một vệ tinh quay quanh Trái Đất với độ cao so với mặt đất là 18900 km. Ta xét trong không gian Oxyz với tâm O là tâm Trái Đất, 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6300 km trên thực tế. Biết bán kính Trái Đất khoảng 6300 km. Phương trình biểu diễn quỹ đạo chuyển động của vệ tính đó là

Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với đơn vị trên trục tính theo km, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z + 5 = 0. Khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là bao nhiêu km?

Một thiết bị phát sóng định vị hàng hải hình cầu được thả trên mặt biển. Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị mét), mặt biển phẳng lặng trùng với mặt phẳng Oxy. Thiết bị này tiếp xúc với mặt biển và có bán kính là 2 m. Biết rằng hình chiếu vuông góc của tâm thiết bị lên mặt biển có tạo độ là (12; -5; 0) và thiết bị nổi một nửa trên mặt nước. Tìm tọa độ tâm I của thiết bị.

Một robot thám hiểm đáy biển đang ở tọa độ A(1; 1; 1). Một trạm tiếp điện ngầm hình cầu có phương trình mặt ngoài là (x – 4)² + (y – 5)² + (z – 1)² = 4 (đơn vị trên các trục là mét). Robot cần di chuyển đến bề mặt của trạm tiếp điện để sạc pin. Khoảng cách ngắn nhất mà robot phải di chuyển là bao nhiêu mét?

Một kiến trúc sư cần phủ một lớp sơn phản quang lên toàn bộ mặt ngoài của một bồn chứa khí hóa lỏng hình cầu. Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị là mét), bồn chứa được mô tả bởi phương trình: x² + y² + z² – 10x + 4y – 2z – 5 = 0. Tính diện tích bề mặt cần sơn của bồn chứa này (làm tròn đến hàng đơn vị, lấy p $\approx$ 3,14).

Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600 m được đặt tại vị trí I(200; 450; 60). Vào lúc 5 giờ 00 phút sáng, bạn An đi bộ từ vị trí A(-100; 50; 0) đến vị trí B(-100; 1250; 0) trên một đường thẳng với vận tốc không đổi trong thời gian 15 phút.

Một nhà máy hóa chất xây dựng một bể chứa khí gas hình cầu. Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị m), bề mặt bể chứa thuộc mặt cầu (S): x² + y² + z² – 4x – 4y – 4z – 13 = 0. Giá để sơn bề mặt chống gỉ cho bể chứa là 100 000 đồng/m².