Bài tập Thể tích lăng trụ, khối hộp lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác đều cạnh a là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Chiều cao của lăng trụ h = AA' = a.

Vậy thể tích khối lăng trụ là \[{V_{ABC.A'B'C'}} = S.h = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\]

Đáp án đúng là: B

Diện tích tam giác ABC là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = {a^3}\sqrt {15} .\)

Đáp án đúng là: A

Đặt cạnh của hình lập phương là x (x > 0).

Khi đó, ta có AA' = x; A'C' = \(x\sqrt 2 \).

Xét ∆AA'C' vuông tại A', có \[AC' = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{{C'}^2}} = x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a\].

Vậy thể tích của hình lập phương là: V = a³.

Đáp án đúng là: A

Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABCD}} = 10\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\\{S_{ABB'A'}} = 20\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\\{S_{ADD'A'}} = 32\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB.AD = 10\\AB.AA' = 20\\AA'.AD = 32\end{array} \right..\]

Nhân vế theo vế, ta được (AA'.AB.AD)² = 6400 ⇒ AA'.AB.AD = 80 cm³.

Đáp án đúng là: A

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B'C'.

Tam giác ABC cân tại A ⇒ tam giác A'B'C' cân tại A' ⇒ A'M ⊥ B'C'.

Lại có B'C' ⊥ AA' (do AA' ⊥ (A'B'C')).

Từ đó suy ra B'C' ⊥ (AA'M) ⇒ B'C' ⊥ AM.

Do đó góc giữa mặt phẳng (AB'C') và mặt phẳng (A'B'C') là \(\widehat {AMA'} = 60^\circ \).

Vì tam giác A'B'C' cân tại A', M là trung điểm của đoạn thẳng B'C' nên A'M ⊥ B'C' và \(\widehat {B'A'M} = 60^\circ \).

Tam giác vuông A'B'M, có \[A'M = A'B'.\cos \widehat {MA'B'} = a.\cos {60^0} = \frac{a}{2}.\]

Tam giác vuông AA'M, có \[AA' = A'M.\tan \widehat {AMA'} = \frac{a}{2}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Diện tích tam giác \[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\]

Vậy \[{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{3{a^3}}}{8}.\]

Đáp án đúng là: B

Vì H là trung điểm của AB nên \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Theo giả thiết, ta có A'H ⊥ (ABCD) ⇒ A'H ⊥ AB.

Tam giác vuông A'HA, có \(A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Diện tích hình vuông S_ABCD = a².

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.A'H = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết, ta có A'O ⊥ (ABC).

Diện tích tam giác đều \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Chiều cao khối lăng trụ A'O = a.

Vậy thể tích khối lăng trụ \(V = {S_{\Delta ABC}}.A'O = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm BC.

Vì ∆ABC vuông tại A nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Từ A'A = A'B = A'C = a, suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Suy ra A'I ⊥ (ABC).

Tam giác ABC, có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow BI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Tam giác vuông A'IB, có \(A'I = \sqrt {A'{B^2} - B{I^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Diện tích tam giác ABC là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.A'I = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.\)